Ciencia

Matemáticas 1º Bachillerato

Geometría Analítica (Tema 8)

Geometría Analítica
Sistema de Referencia
Conjunto formado por un punto fijo denominado origen (O), y una base

x, y

=>

R= {O , x , y }

Dado un punto cualquiera R:P(a,b), las coordenadas de dicho punto vendrán según el
vector posición p= OP

Vector a partir de dos puntos
A= x1, y 1

B = x 2, y2

AB = OB OA= x 2x1, y 2 y1

-->

BA=OAOB= x 1 x 2, y1 y 2

(igual pero de sentido contrario)

¿Cómo saber si dos puntos están alineados?
Los puntos

A= x1, y 1

BC = x3 x 2, y3  y 2
cumple que:

,

B = x 2, y2

y

C = x3, y 3

estarán alineados siempre que

AB = x 2 x 1, y2  y 1

y

tengan la misma dirección, y esto ocurre si sus coordenadas son proporcionales, es decir, sise
x 2 x 1 y 2  y 1
=
x 3 x 2 y 3  y 2

Podemos deducir, aplicando vectores, que si los vectores tienen la misma dirección, el ángulo que forman entre ellos es
de 0º, es decir, si realizamos el producto vectorial: u · v = u · v ya que cos u , v = 1

¿Cuál es el Punto Medio (M) de un segmento?
Siendo

A= x1, y 1

y B = x 2, y2

dos puntos de un segmento, su punto medio será

Mx1 x2 y 1 y2
,
2
2

Cabe destacar que M es un punto simétrico a A y B.

Punto simétrico de un punto respecto de otro
Si tenemos dos puntos, A y P, podemos hallar el simétrico de A respecto de P, tomando a éste último como punto medio
entre A y A', siendo este último el simétrico de A.
A = x 1, y 1

P=

x1 x2 y1 y2
,
=
2
2

,

A ' = x 2, y 2

Los valores desconocidos sonlos de A', con lo que a partir de sustituir los valores de A en P, tenemos un sistema de tal
x2, y 2 = 2 ·  x1, 2 ·  y1
manera que:

Recopilación: Jose Santiago Jiménez Sarmiento (www.iseron.com)

1

Matemáticas 1º Bachillerato

Geometría Analítica (Tema 8)

Ecuaciones de las Rectas
Recta que pasa por dos puntos
p= OA , como un vector dirección
Sabiendo dos puntos, A y B, podemostener tanto un vector de posición
podemos obtener cualquier ecuación de una recta como veremos en los siguientes apartados.

d = AB , y por consiguiente,

Nota: En caso de no conocer O, podemos tomar O=(0,0)

OX = p t · d

Ecuación vectorial de la recta
O es el origen de coordenadas.

p es el vector posición y

X es un punto variable de la recta r.

d

es el vector dirección, quees paralelo a r .

dr

t es el parámetro, de tal manera, que al variar t, varía X sobre r

{

x = p1 t · d 1
y = p2 t · d 2

Ecuación paramétrica de la recta

}

p= p1, p2
d = d 1, d 2 , y sustituyendo los mismos en la ecuación vectorial de la recta,
Sabiendo los siguientes datos, OX = x , y
obtendremos el sistema que implica la ecuación pedida. Para cada t obtendremos un punto(x,y).

Ecuación continua de la recta

x  p1 y  p2
=
d1
d2

-->

x  x0 y  y 0
=
a
b

Despejando t y realizando el método de igualación obtenemos esta ecuación. Muy conocida de la segunda forma expresada.

r : Ax By C = 0

Ecuación General o Implícita de la recta

A partir de la ecuación paramétrica, si despejamos t, y realizamos, por ejemplo, el método de igualación t=t,obtendremos lo siguiente:
d 2 x  d 1 y  d 2 p 1 d 1 p 2= 0 , y llamando A = d 2
B =d 1 y C = d 2 p1 d 1 p 2 , tenemos dicha ecuación general.

Especial atención hay que hacer sobre el punto

A,B

, ya que sustituyendo por sus valores originales obtenemos

mismo, un vector dirección perpendicular a la recta r, es decir,

d 2,  d 1

, o lo que es lo

A , B ⊥r

Recordemos deltema de vectores, que para conseguir un vector perpendicular a uno dado, sólo tenemos que permutar sus componentes y cambiarle el
signo a una de ellas.

v1, v 2 ⊥ v2,  v1

o también,

v1, v 2 ⊥ v 2, v1

Recopilación: Jose Santiago Jiménez Sarmiento (www.iseron.com)

2

Matemáticas 1º Bachillerato

Geometría Analítica (Tema 8)

Ecuación Explícita de la recta
De la ecuación...