Ciencias de la Computacion I

Ciencias de la Computacion I
Algebra

de Boole
Sistema de Numeracion
Aritmetica de Punteros

Algebra de Boole
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Álgebra de Boole (también
llamada Retículas booleanas) en
informática y matemática, es una
estructura algebraica que rigorizan
las operaciones lógicas Y, O y NO,
así como el conjunto de operaciones
unión, intersección y complemento.

Historia
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En el siglo XIX, George Booledesarrolló una teoría que se
basa en representar las proposiciones lógicas mediante
símbolos y asignar valores a las variables de entrada y
salida, y que permite crear un álgebra tal que es posible
operar usando tales símbolos y valores para obtener
resultados correctos.
Este álgebra es una herramienta matemática que,
aplicada al pensamiento lógico, permite obtener
conclusiones verdaderas apartir de datos verdaderos, del
mismo modo que otras disciplinas matemáticas, aplicadas
a la física, permiten hacer predicciones sobre el mundo
real.
En el álgebra de Boole, tanto los datos como las
conclusiones sólo pueden tomar dos valores: verdadero y
falso, y, como veremos, el conjunto de proposiciones es
muy reducido. Sin embargo, las posibilidades de este
modelo de álgebra son sorprendentes.Proposiciones
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Sólo existen tres operaciones o
proposiciones:
O, más usado como OR, usa los símbolos
'+' y '^', y en conjuntos corresponde con
la operación de Union.
Y, más usado como AND, usa los símbolos
'·' y 'v', y en conjuntos corresponde con la
operación de Interseccion.
No, más usado como NOT, usa el símbolo
'~' y una comilla (') o un superrayado.
Corresponde con la negación.Postulados
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Ley conmutativa. Que se
cumple tanto para la operación
OR como para la AND:
a+b=b+a
a·b=b·a
Ley de identidad o de
elementos neutros. El 0 es
neutro para la operación OR y
el 1 para la AND:
0+a=a
1·a=a
Ley distributiva. Cada
operación es distributiva con
respecto a la otra:
a·(b+c)=a·b+a·c
a+b·c=(a+b)·(a+c)
Ley del complementario. Para
cada valor existe un
complementario, de modoque
se cumple:
a+a'=1
a·a'=0

Dualidad
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Todos los postulados tienen
dos formas, y si los
analizamos, veremos que
cada una de ellas se puede
obtener a partir de la otra,
intercambiando los '1' por '0'
y las operaciones '+' por '·'.
Creo que está claro que, en el
caso de variables,
intercambiar '1' por '0'
equivale a aplicar el operador
de negación.
Por ejemplo:
a+b=b+a -> a'·b'=b'·a'
0+a=a-> 1·a'=a'
a·(b+c)=a·b+a·c -> a'+
(b'·c')=(a'+b')·(a'+c')
a+a'=1 -> a'·a=0

Teoremas
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Teorema 1
Para cada elemento se verifica que a+1=1 y por dualidad, también que
a·0=0
La demostración es la siguiente:
Postulado 4: a+a'=1
Postulado 2: a+(a'·1)=1
Postulado 3: (a+a')·(a+1)=1
Postulado 4: 1·(a+1)=1
Postulado 2: a+1=1
Teorema 2
Para cada elemento se verifica quea+a=a y por dualidad, también que
a·a=a
La demostración es la siguiente:
Postulado 2: a+0=a
Postulado 4: a+(a·a')=a
Postulado 3: (a+a)·(a+a')=a
Postulado 4: (a+a)·1=a
Postulado 2: a+a=a

Teoremas
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Teorema 3: Asociatividad
Las dos operaciones del álgebra de Boole son
asociativas.
Para cada elemento se verifica que a+(b+c)=(a+b)+c y
por dualidad, también que a·(b·c)=(a·b)·c
Obviaremoslas demostraciones a partir de ahora, si
quieres, puedes demostrar los teoremas usando los
postulados o los teoremas previamente demostrados.
Teorema 4
Para cada elemento se verifica que a·[(a+b)+c]=a y
por dualidad, también que a+[(a·b)·c]=a
Teorema 5
Para cualquier elemento se verifica que a+(a·b)=a y
por dualidad, también que a·(a+b)=a

Teoremas
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Teorema 6
Para cadaelemento se verifica que a"=a
Teorema 7: Leyes de Morgan
Para cada par de elementos cualquiera se verifica que
(a+b)'=a'·b' y por dualidad: (a·b)'=a'+b'
El teorema se cumple también para trios, cuartetos y en
general, para expresiones con cualquier número de
elementos. Por ejemplo: (a+b+c)'=a'·b'·c'
Este teorema es muy importante en el álgebra de Boole, ya
que permite simplificar expresiones...