ciencias

ECUACIONES DIFERENCIALES
Definición: una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a una o más variables
independientes, se dice que es una ecuación diferencial. ED
Ejemplo.

dy
 4y 1
dx

y´´´5 y´´4 y  0

Notación.
dy d 2 y d 3 y
d ( n) y
,
,
, , ( n )
dx dx 2 dx 3
dx



Notación de Leibniz

y´, y´´, y´´´, y (4) ,, y (n)



Notación dePrimas

Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Se clasifican de acuerdo a tres propiedades.
1. Según el tipo:
Ecuación diferencial ordinaria (EDO): es la ecuación que contiene derivadas respecto a una sola
variable independiente. (Son las que estudiaremos en este curso).
dy
 4y  ex
" x" Variable independiente. " y" Variable dependiente
dx
Ecuación diferencial parcial (EDP): es laque contiene las derivadas parciales respecto a dos o más
variables independientes.
u
v
" x  y" Variables independientes. "u  v" Variables dependientes

y
x
2. Según el orden:
El orden de una ED es el de la derivada de mayor orden en la ED.
3

d 2 y  dy 
 5   4 y  e x
2
dx
 dx 

ED de segundo orden

3 y´´´5xy´´ y´ 0

ED de tercer orden

3. Según lalinealidad:
Se dice que una ED es lineal si tiene la forma
dny
d n 1 y
dy
an ( x) n  an 1 ( x) n 1    a1 ( x)  a0 ( x) y  g ( x)
dx
dx
dx

x 3 y´´´ x 2 y´´3xy´5 y  e x

ED lineal de tercer orden

d3y
 y2  0
3
dx

ED no lineal de tercer orden
3

d 2 y  dy 
 5   4 y  e x
2
dx
 dx 

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

ED no lineal de segundo ordenPágina 1

Solución de una ecuación diferencial
Definición: cualquier función f definida en un intervalo I y que tiene al menos n derivadas continuas en I ,
las cuales cuando se sustituyen en una ED ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a una identidad, se
dice que es una solución de la ecuación en el intervalo.
Intervalo de definición: La solución de una ecuación diferencial debe estardefinida en un intervalo. Dicho
intervalo se conoce como intervalo de definición, intervalo de existencia o dominio de la solución.
Verificación de una solución: verifique que la función indicada es una solución de la E.D. dada en el
intervalo (, )
1
1
dy
y  x4
 xy 2
16
dx
y  xe x

y' '2 y' y  0

Tipos de soluciones
Solución trivial: es la solución de una E.D. que esidéntica a cero en un intervalo I.
y0
Solución explícita: es la solución en la que la variable dependiente se expresa sólo en términos de la variable
independiente y las constantes.
1
1 4
dy
x Es una solución explícita de la ED
 xy 2
16
dx
Solución implícita: se dice que una función G( x, y)  0 es una solución implícita de una ED en un intervalo
I , suponiendo que existe al menos unafunción f que satisface la relación así como la ED en I .
Familias de soluciones: una ED puede tener una cantidad  de soluciones que corresponden a las elecciones
ilimitadas de parámetros. Todas estas familias se llaman familias paramétricas de soluciones. El parámetro
está directamente relacionado con el orden de la ED.
Si la E.D. es de primer orden, la solución es uniparamétrica. Hay un parámetroc que puede tomar diferentes
valores.
Si la E.D. es de segundo orden, la solución es biparamétrica. Hay dos parámetros c1  c2 que pueden tomar
diferentes valores.
Si la E.D. es de orden “n”, la solución es n-paramétrica. Hay “n” parámetros c1 , c2 ,cn que pueden tomar
diferentes valores.
Problemas de valor inicial (PVI)
A menudo es interesante resolver una ecuación diferencial de primerorden

dy
 f ( x, y ) sujeta a la condición
dx

inicial y( x0 )  y0
Ejemplo: y  ce x es una familia uniparamétrica de soluciones de y'  y en (, ) con la condición inicial
y(0)  3
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

Página 2

Entonces y  ce x



3  ce 0

Por lo tanto la solución particular es 


y  3e

3c
x

Ejercicios.
1) Compruebe si la función...