Cinematica

Cinemática 2 dimensiones
Introducción a la Mecánica
Nelson Zamorano Hole
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Chile

III

Cap´ ıtulo III

CINEMATICA EN DOS DIMENSIONES
III.1.
III.1.1.

VECTORES
Representaci´n de vectores en dos dimensiones o

Hasta ahora hemos descrito el movimiento en una dimensi´n. En este caso basta una o coordenada para identificar laposici´n de un punto. Obviamente, en dos dimensiones o necesitamos dos n´meros para localizarlo. Por ejemplo, para ubicar una calle en el mapa u de la gu´ de tel´fonos se dispone de dos datos, una letra y un n´mero; con la letra ıa e u se ubica la posici´n en el eje vertical y con el n´mero, la posici´n del bloque en el eje o u o horizontal. En otras palabras, al usar [A–16] como una coordenada,estamos identificando las letras del alfabeto con la l´ ınea vertical (ordenada) del mapa y los n´meros con la u coordenada horizontal (abcisa). Para precisar la posici´n de un punto en el plano, debemos recurrir a un par de o n´meros reales. Necesitamos dar los dos n´meros como un par ordenado para identificar u u su significado sin ambig¨edades. Por convenci´n, el primer n´mero corresponde a la u o uabcisa (eje horizontal) del punto a identificar y el segundo n´mero a la ordenada (eje u vertical). Usualmente, el punto con sus coordenadas respectivas se escribe como P(x,y). La recta que une el origen O con el punto P, se denomina el vector OP, se escribe
−→

OP , y contiene informaci´n acerca de la direcci´n, sentido y magnitud del vector. o o La direcci´n es la l´ o ınea que atraviesa lospuntos O y P de la Figura, el sentido es la flecha que se instala en el extremo del trazo y la magnitud, es el largo del trazo, que tambi´n se denomina el m´dulo del vector. e o La magnitud o m´dulo de un vector se indica mediante dos barras verticales a cada o uno de los lados del vector: | OP |. El m´dulo (o largo) del vector, es un n´mero que se o u 85
−→

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CAP´ ITULO III. CINEMATICA ENDOS DIMENSIONES

Figura III.1: Componentes Cartesianas de un vector. La proyecci´n del vector en el eje o x es la sombra que proyecta sobre dicho eje al trazar una perpendicular al eje x desde el extremo del vector. Lo mismo es v´lido para la proyecci´n sobre el eje y. a o obtiene usando el teorema de Pit´goras: a
2 | OP | ≡ [x2 + yP ]1/2 P −→

Figura III.2: Representaci´n gr´fica de distintosvectores. En cada uno de ellos se indica o a una de las caracter´ ısticas de un vector: magnitud, direcci´n y sentido. o La magnitud de un vector es siempre un n´mero real positivo. Dadas las coordenadas u de los dos puntos extremos de un vector: (xA , yA ), (xB , yB ), su valor se calcula de la siguiente forma: | AB |= (xB − xA )2 + (yB − yA )2
−→ 1/2

.
−→

donde (xB − xA ) representa lasombra que proyecta el vector AB sobre el eje–x. An´logamente, yB − yA es la proyecci´n de este vector sobre el eje–y. a o Esta es la forma gr´fica de representar un vector: mediante una flecha. Otra forma a de identificarlo, es a trav´s de las coordenadas de sus puntos extremos: forma anal´ e ıtica. Este m´todo se define a continuaci´n. e o

III.1. VECTORES

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Un vector se representa por unpar ordenado de n´meros. En el u primer casillero se inserta la proyecci´n del vector sobre el eje–x, o y en el segundo, su proyecci´n sobre el eje–y. Cada una de estas o proyecciones se obtiene haciendo la diferencia entre la coordenada correspondiente a la cabeza de la flecha y la coordenada de la cola de la flecha.

Figura III.3: Los vectores no comienzan necesariamente desde el origen. La Figurarepresenta al vector AB, indicando sus componentes que, como se se˜al´, corresponden a n o la diferencia entre la coordenada del punto final menos la coordenada de la cola de la flecha.
−→ −→

Por ejemplo, los vectores OP y OP de las Figuras II.1 y II.3, se pueden expresar mediante este m´todo de la siguiente forma: e OP = [xP − 0, yP − 0] = [xP , yP ],
−→

AB= [xB − xA , yB − yA ].

−→...