Cinematica

MOVIMIENTO ´ PARABOLICO y MOVIMIENTO CIRCULAR

24 de junio de 2012

´ Indice general
1. Movimiento Parab´lico o 1.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Caracteristicas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Movimiento horizontal y movimiento vertical 1.3.1. Movimiento Horizontal . . . . . . . . 1.3.2. Movimiento Vertical . . . . . . . . . 1.4. F´rmulas de la movimientoparab´lico . . . o o 1.4.1. Alcance m´ximo (R) . . . . . . . . . a 1.4.2. Altura m´xima (H) . . . . . . . . . . a 1.5. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 3 4 5 5 5 6 10 10 10 11 12 12 13 14 15 18

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2. Movimiento Circular 2.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Elementos del movimiento circular . . . . . . . . . . . . 2.3. Movimiento Circular Uniforme (M.C.U) . . . . . . . . . 2.3.1. Velocidad Angular (ω) . . . . . .. . . . . . . . . 2.3.2. Velocidad Lineal o Tangencial (vt ) . . . . . . . . . 2.4. Movimiento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V) 2.4.1. Aceleraci´n angular (α) . . . . . . . . . . . . . . o 2.4.2. Aceleraci´n l´ o ıneal (a) . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1

Cap´ ıtulo 1 Movimiento Parab´lico o
1.1. Concepto

Es aquel movimiento compuesto que tiene como trayectoria una l´ ınea curva denominada parab´la (despreciando la resistencia del aire). La unica fuerza que act´a en el o ´ u movimiento es su peso. Se considera unproyectil, todo cuerpo ”puntual”que tiene velocidad inicial y est´ soa metido a la aceleraci´n de la gravedad (-g) dirigido verticalmente. El movimiento del o proyectil est´ en el plano XY. a

Y

Vy

V 0 Vx

V=Vx=Vo.cos0o Vx 0 H Vy V

Vo Vo.sen0o y 0o Vo.cos0o Z x R

Vx 0o=0 Vy V X

2

1.2.

Caracteristicas

La velocidad vertical (Vy ) es variable, mientras que la velocidadhorizontal (Vx ) permanece constante. Bajo la misma rapidez (V ) de lanzamiento, un proyectil logra un alcance horizontal m´ximo (R) cuando el ´ngulo de elevaci´n es 45◦ . a a o Bajo la misma rapidez (V ) de lanzamiento, dos proyectiles logran el mismo alcance (x) cuando los ´ngulos de lanzamiento son complementarios: a α + θ = 90◦ El proyectil impacta en Tierra con el mismo ´ngulo de lanzamiento (θ0 ) yla misma a velocidad (Vx ). En la altura m´xima (H) del movimiento parab´lico solamente existe velocidad a o horizontal (Vx ). La velocidad m´ ınima del proyectil se da en el punto de m´xima a altura. La velocidad resultante de un proyectil en cualquier punto es: √ 2 2 vR = vx + vy y su direcci´n es: tan θ0 = o
vy vx

1.3.

Movimiento horizontal y movimiento vertical

Galileo demostr´ que elmovimiento parab´lico debido a la gravedad es un movio o miento compuesto por otros dos: uno horizontal y el otro vertical. Descubri´ asimismo que el movimiento horizontal se desarrolla siempre como un M.R.U. o y el movimiento vertical es un M.R.U.V. con aceleraci´n igual a g. o { Movimiento Parab´lico= o M ovimientoHorizontal (M RU ) } { + M ovimientoV ertical (M RU V ) }

1.3.1.

MovimientoHorizontal
ax = dvx =0 dt 3 (1.1)

De (1.1) es evidente que vx debe ser constante, y como se indica que el valor inicial al tiempo t = 0 es v0x , se debe tener: vx = v0x = v0 cos θ0 (1.2)

Sustituir vx = dx en (1.2) e integrar desde t = 0 (cuando x = 0) hasta el tiempo t, que dt corresponde a un desplazamiento horizontal x, obteniendo as´ ı: ∫ x ∫ t dx = v0x dt (1.3)
0 0

de donde: x...