Circuitos electricos de 2º orden

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CIRCUITO RCL EN PARALELO SIN FUENTES

La combinación particular de elementos ideales es un modelo adecuado para varias partes de comunicación, por ejemplo, representa una parte importante de algunos de los amplificadores electrónicos que se encuentran en cualquier receptor de radio, haciendo posible que una gran amplificación de tensión dentro de una gran banda estrecha de frecuencias de laseñal y una amplificación casi cero fuera de la banda.

En consecuencia basta decir que la compresión del comportamiento natural del circuito RCL en paralelo es de fundamental importancia para estudios de redes de comunicación y diseño de filtros.

Si una bobina física se conecta en paralelo con un condensador y la bobina tiene asociada con ella a la resistencia óhmica no nula, puede mostrarseque la red resultante tiene un modelo de circuito equivalente, tal como se muestra en la figura.

Las perdidas de energía en la bobina física se tiene en cuenta mediante la presencia de la resistencia ideal, cuyo valor R depende de (pero, no es igual a) la resistencia óhmica de la bobina.

Se puede escribir la ecuación con el circuito de referencia :

t

v + 1 " v dt - i(t0) + C dv = 0R L to dt

Obsérvese que el signo menos es consecuencia de la dirección que se a supuesto para i .

v = Aest permitiendo que A y s sean números complejos si es necesario.

Si cualquiera de los dos primeros factores se iguala a cero, entonces v(t) = 0. Sumando las ecuaciones diferenciales y agrupando términos semejantes:

C d2 (v1 + v2) + 1 d(v1 + v2) + 1 (v1 + v2) = 0

dt2 R dt LSe ve que la suma de las dos soluciones también es una solución, así tenemos la forma de la repuesta natural.

v = A1es1 t + A2es2t

En donde s1 y s2 son dos constantes arbitraria, ya que lo exponentes s1t y s2t deben ser adimensionales .

Las unidades de este tipo se llaman frecuencias, representemos 1/ " LC por 0 (omega).

0 = 1/ " LC

Llamaremos 1/ 2RC frecuencia neperina ocoeficiente de amortiguamiento exponencial y lo representamos por  (alfa).

 = 1/ 2RC

esta última expresión descriptiva se utiliza porque  es una medida de la rapidez con que la repuesta natural decae o se amortigua hasta encontrar un valor final permanente (cero generalmente).Por último s, s1 y s2, reciben el nombre de frecuencias complejas, la repuesta natural del circuito RCL en paralelo es:v(t) = A1es1 t + A2es2t

CIRCUITO RCL EN PARALELO SUPERAMORTIGUADO

Es evidente que si LC > 4R2 C 2,  será mayor que 0 y 2 será mayor que 02. En este caso, el radical que nos interesa será real y tanto s1 como s2 serán reales . Además las siguientes desigualdades,

" 2 - 02 < 

(- -" 2 - 02 ) < (- + " 2 - 02 ) < 0

se puede aplicar para mostrar que tanto s1 como s2son números reales negativos. Por tanto la respuesta v(t) puede expresarse como la suma de dos términos exponenciales decrecientes acercándose los dos a cero cuando el tiempo aumenta sin límite. En realidad como el valor absoluto de s2 es mayor que el de s1, el término que contiene a s2 tiene un decrecimiento más rápido y para valores grandes del tiempo, podemos escribir la expresión límite.V(t) ! A1es1 t ! 0 cuando t ! "

AMORTIGUAMIENTO CRITICO

El caso superamortiguado está caracterizado por :

 > 0

o

LC > 4R2 C 2,

Y conduce a valores reales negativos para s1 y s2 y una respuesta expresada como la suma algébrica de dos exponenciales negativas. Ajustemos ahora los valores de los elementos de modo que  y 0 sean iguales, es éste caso muy especial que se denominaamortiguamiento crítico. Así pues el amortiguamiento se consigue cuando:

 = 0

o

LC = 4R2 C 2

o

L = 4R2 C

Para el amortiguamiento, la ecuación se escribiría de la siguiente manera :

v(t) = A1es1 t + A2es2t

debe observarse que la solución puede expresarse por la suma de dos términos, de los cuales una es la exponencial negativa ya conocida, pero el segundo es t veces una...
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