circuitos

"Completar el cuadrado" es cuando...
... tenemos una ecuación cuadrática como:

y la ponemos en esta forma:
ax2 + bx + c = 0

a(x+d)2 + e = 0

Para los que tengáis prisa,

puedo decir yaque:

, y:


Pero si tienes tiempo, deja que te explique cómo llegar allá.
Primero tengo que enseñarte lo que pasa cuando desarrollas (x+d)2
(x+d)2 = (x+d)(x+d) = x(x+d) + d(x+d) = x2 + 2dx +d2
Así que si podemos poner la ecuación en la forma:

x2 + 2dx + d2

Entonces podemos escribirla inmediatamente como:

(x+d)2

Que está bastante cerca de lo que queremos, el trabajo estaríacasi hecho
El caso más simple
Vamos a trabajar primero con:

Suma (b/2)2 a los dos lados:


Ahora mira la "pista" de arriba y piensa en que 2d=b así que d=b/2
Sí, está en la forma x2 + 2dx +d2 donde d=b/2, así que lo volvemos a escribir
Completamos el cuadrado:



¿Ves? No es difícil. Con truco pero no difícil.
Ahora vamos al caso completo:
Empieza con

Divide la ecuación entre aPon c/a en el otro lado

Suma (b/2a)2 a los dos lados


¡Ajá! ¡Tenemos la forma x2 + 2dx + d2 que queríamos!
(si "b/2a" es "d", claro)
"Completamos el cuadrado"

Ahora lo traemos todo devuelta...

... a la izquierda

... y con el coeficiente correcto de x2


Fíjate en que tenemos:

a(x+d)2 + e = 0
Donde:


, y:


Vamos a probar con un ejemplo de verdad:
Empieza con3x2 - 4x - 5 = 0
Divide la ecuación entre a

Pon c/a en el otro lado

Suma (b/2a)2 en los dos lados

... ahora la podemos transformar...
"Completamos el cuadrado"

Podemos simplificar lasfracciones

Ahora lo traemos todo de vuelta...

... a la izquierda

... y con el mismo coeficiente de x2



Pero pasa algo interesante... el vértice (el punto más alto o más bajo de lacurva) está en (2/3, -19/3) ... ¡y esos números aparecen en la ecuación!

Otra cosa es que ahora podemos resolver la ecuación a mano:













¿Para qué "completar el cuadrado"?...