Clase 1 Conducci N Unidimensional Estacionaria

Métodos numéricos en la
conducción de calor
Objetivos:
1.Comprender las limitaciones que presentan las soluciones
analíticas de los problemas de conducción de calor.
2.Emplear el método de balance deenergía para formular
numéricamente el problema de conducción y comprobar que
conduce al mismo conjunto de ecuaciones algebraicas que el
método de diferencias finitas.
3.Desarrollar la capacidad pararesolver problemas de
conducción unidimensional y bidimensional en régimen
estacionario y transitorio.

Principales razones para la búsqueda de métodos
alternativos de solución:
1. Limitaciones.
2.Una mejor elaboración de modelos.
3. Flexibilidad.
4. Complicaciones.
5. Naturaleza humana.
PPT elaborado por Arturo
Arosemena

1

Formulación en diferencias finitas de ecuaciones diferenciales𝑑𝑓(𝑥)
Δ𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
= lim
=
∆𝑥→0 Δ𝑥
𝑑𝑥
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
Sí Δ𝑥 ≈ 0:
𝑑𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
≈
𝑑𝑥
∆𝑥

Expansión en serie de Taylor de 𝑓 en torno a 𝑥, al
evaluar 𝑥 = 𝑥 + ∆𝑥
𝑑𝑓(𝑥) 1 2 𝑑 2 𝑓(𝑥) 1 3 𝑑 3 𝑓(𝑥)
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = 𝑓𝑥 + ∆𝑥
+ ∆𝑥
+ ∆𝑥
+⋯
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥 2
6
𝑑𝑥 3
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑓 𝑥
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 ≈ 𝑓 𝑥 + ∆𝑥
→
≈
𝑑𝑥
𝑑𝑥
∆𝑥

2

Conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una
pared plana de espesor 𝐋, congeneración de calor y conductividad
térmica constante:
La pared se subdivide en 𝑀 sección de espesor ∆𝑥 =
𝐿/𝑀, en la dirección 𝑥 separadas por los puntos
0,1,2 … , 𝑚 − 1, 𝑚, 𝑚 + 1, … 𝑀 − 1, 𝑀;llamadosnodos
o puntos nodales.
𝑑2𝑇 𝑔
+ =0
𝑑𝑥 2 𝑘

𝑑2𝑇
𝑑𝑥 2
𝑑2𝑇
𝑑𝑥 2

A través del análisis realizado se
obtiene un conjunto de 𝑀 − 1
ecuaciones (en vista de que son
𝑀 nodos), por lo tanto para
determinar latemperatura en 0 y
en 𝑀 se necesita de las
condiciones de frontera.

𝑑2𝑇
𝑑𝑥 2

𝑑𝑇
𝑑𝑥
≈
𝑚

2

∆𝑥

𝑑𝑇
𝑑𝑥

𝑚−

1
2

𝑇 𝑚+1 −𝑇 𝑚
𝑇 𝑚 −𝑇 𝑚−1
−
∆𝑥
∆𝑥
≈
∆𝑥

≈

𝑇𝑚+1 − 2𝑇𝑚 + 𝑇𝑚−1
∆𝑥 2

+

𝑔 𝑚 𝑇𝑚+1 − 2𝑇𝑚 + 𝑇𝑚−1𝑔𝑚
≈
+
=0
𝑘
∆𝑥 2
𝑘

𝑚

𝑚

𝑚+

−
1

𝑚 = 1,2,3, … , 𝑀 − 1

3

Formulación en diferencias finitas de la conducción unidimensional
en estado estacionario a partir del método de balance de...