CLASE 27

ROBABILIDADES
(ITEL-30205)
PROBABILIDADES
(ITEL-30205)
Tema
1. Fundamentos
de Estadísticacontinuos
Descriptiva
Tema
5. Modelos probabilísticos
Distribución
frecuencias
y medidas
de
Semana 10
– Clase 27 de
– Martes
21/05/13
– 5:00
a localización
6:15 pm

Objetivos a lograr:
• Definir y caracterizar
• Definir y caracterizar
• Definir y caracterizar
• Definir y caracterizar

el
el
el
el

modelomodelo
modelo
modelo

uniforme continuo
triangular
exponencial
normal

1. MODELO UNIFORME CONTINUO

1.1. Definición. El modelo uniforme continuo es una variable aleatoria donde la probabilidad
de que un evento ocurra en un intervalo de ancho t es proporcional a ese intervalo.

1.2. Observaciones de interés:
• El modelo Uniforme Continuo se denotará como UC(MIN,MAX), donde MIN es el menor
valor quepuede tomar la variable y MAX es el mayor valor que puede tomar la
variable
• La función de distribución acumulativa de probabilidades viene dada como:
0
x < MIN


 x − MIN
FX (x) = 
MIN ≤ x < MAX
MAX − MIN

1
x ≥ MAX

• La función de densidad de probabilidades viene dada como:
1

x ∈ MIN,MAX 

fX (x) =  MAX − MIN

0
otro caso
• El valor esperado viene dado como:

E(X) =

MIN + MAX
2• La varianza viene dada como:

(MAX − MIN)2
12
• La función generadora de momentos viene dada como:
eMAXt − eMINt
mx (t) =
t(MAX − MIN)
V(X) =

• La función característica viene dada como:
eMAXjw − eMINjw
Φ x (w) =
jw(MAX − MIN)
Prof. José Luis Quintero

157

1.3. Ejemplo 1. Considere una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo
(5,10). ¿Cuál es la probabilidad de que elvalor de la variable se encuentre en el intervalo
(7,9)?
Solución.

p=

∫

9

7

9

dx
x
2
=
=
10 − 5 5 7 5

1.4. Ejemplo 2. Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo (a,b). Si
E(x) = 10 y V(X) = 12 , calcule la probabilidad de que X se encuentre entre 5 y 12.
Solución.

E(x) = a + b = 20 , V(x) = (b − a)2 = 144 . 4b2 − 80b + 400 = 144 . a = 4 , b = 16 .
P(5 ≤ x ≤ 12)=

∫

12

5

dx
7
=
.
12 12

2. MODELO TRIANGULAR

2.1. Definición. El modelo Triangular es una variable aleatoria donde la función de densidad
obedece a una forma triangular dependiente de tres parámetros importantes.

2.2. Observaciones de interés:
• El modelo Triangular se denotará como T(MIN,MODA,MAX), donde MIN es el menor
valor que puede tomar la variable, MODA es el valor para el cual lafunción de
densidad tiene un máximo y MAX es el mayor valor que puede tomar la variable

• La función de distribución acumulativa de probabilidades viene dada como:
0
x < MIN


2
(x − MIN)

x ∈ MIN,MODA 
 (MAX − MIN)(MAX − MODA)
FX (x) = 
(MAX − x)2

1
−
x ∈ MODA,MAX 

(MAX − MIN)(MAX − MODA)

1
x ≥ MAX

• La función de densidad de probabilidades viene dada como:
2(x − MIN)

(MAX − MIN)(MODA − MIN) x ∈ MIN,MODA 


2(x − MAX)
fX (x) = 
x ∈ MODA,MAX 
 (MAX − MIN)(MODA − MAX)

0
otro caso


• El valor esperado viene dado como:
E(X) =

MIN + MODA + MAX
3

• La varianza viene dada como:
MIN(MIN − MODA) + MAX(MAX − MIN) + MODA(MODA − MAX)
V(X) =
18
Prof. José Luis Quintero

158

2.3. Ejemplo 3. Considere una variable aleatoria distribuida en forma triangularen el intervalo
(0,10) y con moda igual a 5. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de la variable se
encuentre en el intervalo (7,9)?
Solución.

2
P(7 < x < 9) = −
50

∫

9

7


2  x2
− 10x 
(x − 10)dx = −


50  2


9

7

2  81
49
2
8
4

(16 − 20) =
=−
− 90 −
+ 70  = −
=

50  2
2
50
50 25


3. MODELO EXPONENCIAL

3.1. Definición. El modelo Exponencial es una variable aleatoriadonde se mide el tiempo de
ocurrencia entre dos eventos consecutivos relacionados con el modelo Poisson.

3.2. Observaciones de interés:
• La variable aleatoria se define para valores mayores que cero
• El modelo Exponencial se denotará como EXPON(λ) , donde λ es un parámetro que
representa el inverso del tiempo promedio entre la ocurrencia de dos eventos
consecutivos

• La función de distribución...