Clase No 9 MOVIMIENTO CIRCULAR Y GRAVIT Hellip

MOVIMIENTO CIRCULAR Y
GRAVITACIONAL.

• Cinemática del movimiento circular
uniforme.
• Dinámica del movimiento circular
uniforme.
• Movimiento circular no uniforme.
• Ley de la gravitación universal.
• Leyes de Kepler.

MOVIMIENTO CIRCULAR
(CONCEPTOS)

•
•
•
•
•
•
•

Ciclo u oscilación.
Periodo (T).
Frecuencia (f).
Velocidad tangencial (Vt).
Velocidad angular(ω).
Radian (Rad).
Aceleración yfuerza centrípeta(ac y Fc).

ACELERACIÓN EN EL
MOVIMIENTO CIRCULAR
En general la aceleración de toda partícula que describa una
trayectoria curva, tiene una componente paralela y una
componente perpendicular a la trayectoria.

ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO
CIRCULAR
la

Componente perpendicular de la
aceleración(𝒂𝒓 ):

La magnitud de la velocidad cambia,
mas no su dirección, esto es, la
partícula semueve en línea recta
con rapidez variable:

La dirección de la velocidad cambia,
mas no su magnitud, esto es, la
partícula se mueve en una curva con
rapidez constante:

Componente
paralela
aceleración (𝒂𝒕 ):

de

ACELERACIÓN EN EL
MOVIMIENTO CIRCULAR
Por lo tanto, el vector aceleración se puede
escribir como la suma vectorial de sus
componentes tangencial y radial:
𝒂 = 𝒂𝒓 𝒓 + 𝒂𝒕 𝜽 (𝑨)
Donde 𝒓 esel vector unitario a lo largo del
radio vector dirigido radialmente hacia afuera
desde el centro del círculo y 𝜽 es el vector
unitario tangente a la trayectoria circular.
Debido a que 𝒂𝒓 y 𝒂𝒕 son componentes
perpendiculares de la aceleración se deduce
que:
𝒂 =

𝒂𝒓 𝟐 + 𝒂𝒕 𝟐 (𝑩)

ACELERACIÓN EN EL
MOVIMIENTO CIRCULAR

En la componente tangencial de la aceleración puede presentarse
que:

• SITUACIÓNNo 1:
Aumento de la rapidez en una trayectoria circular.

ACELERACIÓN EN EL
MOVIMIENTO CIRCULAR

• SITUACIÓN No 2:
Disminución de la rapidez en una trayectoria circular.

ACELERACIÓN EN EL
MOVIMIENTO CIRCULAR

• SITUACIÓN No 3:
Rapidez constante en una trayectoria circular.

MOVIMIENTO
CIRCULAR
UNIFORME

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME.
Dadas las velocidades 1 y 2 en una trayectoriacircular con
rapidez constante.
∆𝒗

𝒗𝟏
𝒗𝟐

𝟎

∆∅

∆𝒔
𝑹

∆𝒔
∆𝒗
=
𝑹
𝒗𝟏

𝑹
∆∅

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME.
Como:
𝒗𝟏 = 𝒗𝟐 = 𝒗 = 𝒗
La expresión:
∆𝒔
∆𝒗
=
𝑹
𝑽𝟏
Se convierte en:
∆𝒔
∆𝒗
=
𝑹
𝒗

∆𝒗
𝒗 ∆𝒔
𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂 =
=
∆𝒕
𝑹 ∆𝒕

Como bien es sabido la aceleración instantanea 𝒂 esta dada
por :
𝒗 ∆𝒔 𝒗
∆𝒔
𝒂 = lim
= lim
∆𝒕→𝟎 𝑹 ∆𝒕
𝑹 ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME.
Como:

∆𝒔=𝒗
∆𝒕
Entonces la expresión anterior se convierte en:
𝒗𝟐
𝒗𝟐
𝒂=
ó 𝒂𝒄 =
(𝟏)
𝑹
𝑹

“En el movimiento circular uniforme, la
magnitud de la aceleración instantánea es igual
al cuadrado de la velocidad “v” dividido entre el
radio R del circulo; su dirección es
perpendicular a y hacia adentro sobre el radio.”

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME.
Dada una circunferencia de radio R, donde :
𝑹

𝑳𝒄= 𝟐𝝅𝑹

𝒗𝟐
𝒂𝒄 =
(𝟏)
𝑹

Una partícula tarda un tiempo (T) en recorrer un ciclo
completo, por lo que su velocidad tangencial esta dada por:
𝑳𝒄 𝟐𝝅𝑹
𝒗𝒕 =
=
(𝟐)
𝑻
𝑻
De (2) y (1) se concluye que la acelaración centrípeta se
puese escribir como:¿?
𝒂𝒄 =

𝟒𝝅𝟐 𝑹
𝑻𝟐

(𝟑)

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME
(EJEMPLO).

En un juego mecánico, los
pasajeros viajan con rapidez
constante en un circulo de2,5 m
de radio, dando una vuelta
completa cada 0,8 s. ¿Que
aceleración tienen?

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME.
Dada una circunferencia de radio R y su longitud de arco “s”
determinada por el ángulo θ, entonces:
𝒔

𝑹
𝜽

𝒔 = 𝑹𝜽 (𝟒)

𝑹

donde el ángulo 𝜽 se mide en radianes.
¿Qué es un radian?
La variación del ángulo es:
∆𝜽 = 𝜽 − 𝜽𝟎
Y la velocidad con que varia esta dada por:
∆𝜽 𝜽 −𝜽𝟎
𝒓𝒂𝒅
=
=𝝎
(𝟓)
∆𝒕
𝒕 − 𝒕𝟎
𝒔
𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME.
Si los valores iniciales del ángulo y el tiempo son cero, la
ecuación (4) se convierte es:
𝜽
𝝎 = (𝟔)
𝒕
Para un ciclo completo 𝝎 se escribe como:
𝟐𝝅𝑹𝒂𝒅
𝝎=
(𝟕)
𝑻
EJERCICIO: Demuestre que a partir de:
𝜽
𝒔
𝒔 = 𝑹𝜽, 𝝎 =
𝒚 𝒗𝒕 =
𝒕
𝒕

la velocidad tangencial esta relacionada con la angular por
la expresión:...