Clase Raices Polinomios

Raíces de Polinomios
Ahora estudiaremos algunos métodos para la determinación de las raíces de ecuaciones
polinomiales de la forma general:
f(x)= a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ..+anxn
donde n es el grado del polinomio y las “a” son los coeficientes constantes. Aunque los
coeficientes pueden ser números reales o complejos.
Las raíces de polinomios cumplen las siguientes reglas:
1. En una ecuación degrado n, existen n raíces reales o complejas. Se debe notar que estas
raíces no necesariamente son distintas.
2. Si n es impar, hay al menos una raíz real.
3. Si existen raíces complejas, éstas se encuentran por pares conjugados (Ej: a+bi y a-bi)
donde i= √𝑖
Método de Müller
Tal y como se realizó en el método de la secante donde se obtienen aproximaciones de la raíz
dirigiendo una línea recta hastael eje x con dos valores de la función (ver gráfico). El método de
Müller es similar pero se construye una parábola con los tres puntos.

Línea Recta

Parábola
Raíz
Estimada

Raíz
Estimada

X0 X1 X0
X1

X0
Raíz

Raíz

El método consiste en obtener los coeficientes de la parábola que pasa por los tres puntos. Dichos
coeficientes se reemplazan en la formula cuadrática para obtener el valor de laparábola que
intersecta al eje x, es decir, obtener la raíz estimada.
f2(x)= a(x-x2)2 + b (x-x2) + c
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Dr. Martín E. Candanedo

Métodos Numéricos

Queremos que ésta parábola pase por los tres puntos [x0,f(x0)], [x1, f(x1)], [x2, f(x2)], los
coeficientes de la ecuación de la parábola se evalúan sustituyendo cada uno de esos tres puntos.
f(xo)= a(xo - x2)2 + b (xo - x2) + c
f(x1)= a(x1 - x2)2 + b (x1 -x2) + c
f(x2)= a(x2 - x2)2 + b (x2 - x2) + c
De donde obtenemos:
f(xo) - f(x2)= a(xo - x2)2 + b (xo - x2)
f(x1) - f(x2)= a(x1 - x2)2 + b (x1 - x2)
Una manipulación algebraica permite encontrar los coeficientes restantes a y b. La manera de
hacer esto consiste en definir las diferencias,
ho= x1-x0;

h1=x2 – x1

𝛿0 = (𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ))/(𝑥1 − 𝑥𝑜 )

𝛿1 = (𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ))/(𝑥2 − 𝑥1 )
De donde sedespejan las siguientes ecuaciones:
(ho + h1)b – (ho + h1)2a = hoδo + h1δ1
H1 b – h12 a = h1δ1
De donde se despeja a y b. El resultado se resume como
𝑎=

𝛿1 − 𝛿0
h1 + h0

b = ah1 + 𝛿1
c = f(x2)
Para encontrar la raíz se aplica la fórmula de la cuadrática. Sin embargo por el error de redondeo
potencial, en lugar de usar la formula convencional, usará la fórmula alternativa, tal y como se
muestra
𝑥3 = 𝑥2+

−2𝑐
𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐

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Dr. Martín E. Candanedo

Métodos Numéricos

Observe que al usar la fórmula cuadrática, es posible localizar tanto las raíces reales como las
complejas. Ésta es la mayor ventaja del método.

El error de aproximación se puede determinar como:
𝜀𝑎 = |

𝑥3 − 𝑥2
| ∗ 100%
𝑥3

Un problema con la solución del ecuación cuadrática es que produce dos raíces, correspondientes
a lostérminos ± del denominador. En el método Müller, se escoge el signo que coincide con el
signo de b. Esta elección proporciona como resultado el denominador más grande y por tanto dará
la raíz estimada más cercana a X2.
Una vez se determina X3, el proceso se repite. Esto trae el problema de que un valor es
descartado. En general dos estrategias son comúnmente utilizadas:
a) Sí sólo se localizan raícesreales, elegimos los dos valores originales, más cercanos a la
nueva raíz estimada, X3.
b) Si se localizan raíces reales y complejas, se emplea un método secuencial, es decir como el
método de la secante donde X1, X2, X3 toman el lugar de Xo, X1, X2
Ejemplo:
Tenemos la función:
f(x)= x3-9x2+28.7
Solución:
Tomamos los valores iniciales Xo=1.5, X1= 1.75, X2=2.00
ho= X1-X0;
h1=X2 – X1
𝛿0 = (𝑓(𝑥1 ) −𝑓(𝑥0 ))/(𝑥1 − 𝑥𝑜 )
𝛿1 = (𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ))/(𝑥2 − 𝑥1 )
𝑎=

𝛿1 − 𝛿0
h1 + h0

b = ah1 + 𝛿1
c = f(x2)
𝑥3 = 𝑥2 +

−2𝑐
𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
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Dr. Martín E. Candanedo

Métodos Numéricos

Para evitar la raíz imaginaria de la raíz cuadrada evaluamos el valor de B, de la forma siguiente
Si B < 0 entonces realizamos B-DISC y Si B > 0 entonces B+DISC
Sabemos que las raíces solución son X1=-1.6421, X2=2.0290 y...