Clases teoricas

Ministerio de Cultura y Educación
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Río Grande

CLASES TEORICAS

ANALISIS DE SEÑALES
Y SISTEMAS
(con ejemplos de Mathematica for Windows)

SERIES

RESIDUOS

FOURIER

LAPLACE

Ing. Carlos Atashian

SERIES ¡Error! Marcador no definido.

Convergencia de Sucesiones y Series

Una sucesión infinita

z1, z2,..., zn, ... (1)

de números complejos tiene límite z si, para cada número positivo ε, existe un número positivo n0 tal que

|zn - z| < ε si n > n0

Geométricamente, para n suficientemente grande, los puntos zn están en cualquier entorno dado ε de z.

y
.zn
.z3 ε.z2 z

.z1

0 x

La sucesión (1) puede tener, a lo sumo, un límite. Si existe, éste es único.

Cuando existe, se dice que la sucesión converge a z, y escribimos

lím zn = z
n(∞

Si la sucesión no tiene límite, diverge.

Teorema 1

Supongamos que
zn = xn + i yn(n = 1, 2, ...)
y
z = x + i y

Entonces lím zn = z (2)
n(∞
si y sólo si
lím xn = x y lím yn = y (3)
n(∞ n(∞
Una serie infinita
∞
Σ zn = z1 + z2 + ... + zn + ... (4)
n=1

de números complejosconverge con suma S si la sucesión
N
SN = Σ zn = z1 + z2 + ... + zN (N = 1, 2,...)
n=1

de sumas parciales converge a S.
∞
Escribimos entonces Σ zn = S
n=1

Una serie puede tener, a lo sumo, una suma.
Cuando una serie no converge se dice que es divergente.

Teorema 2

Supongamos quezn = xn + i yn (n = 1, 2, ...)

y
S = X + i Y

En tal caso
∞
Σ zn = S (5)
n=1
si y sólo si
∞ ∞
Σ xn = X y Σ yn = Y
n=1 n=1

Una condición necesaria para la convergencia de laserie (4) es que:

lím zn = 0
n(∞

Los términos de una serie convergente de números complejos son, por tanto, acotados. Más precisamente, existe una constante positiva M tal que

|zn| ≤ M

para cada entero positivo n.

Se define resto ρN como

ρN = S - SN

Luego

S = SN + ρN

y, ya que|SN - S| = |ρN - 0|

una serie converge a un número S si y sólo si la sucesión de restos tiende a cero. Utilizaremos a menudo esta observación al tratar con series de potencias. Son series de la forma
∞
Σ an (z - z0)n = a0 + a1 (z - z0) + a2 (z - z0)2 + ... +
n=0
an (z - z0)n + ...

donde z0, an son constantes complejas y z es cualquier punto en unaregión prefijada que contenga a z0.

La nomenclatura, para series, es

Suma = S(z)

Suma parcial = SN(z)

resto = ρN(z)

Una serie se llama absolutamente convergente si la serie de los valores absolutos converge. Si converge la serie, pero no la de valores absolutos, es condicionalmente convergente.

Ejercicio

Probarque la sucesión zn = -2 + i (-1)n (n = 1, 2, ...) n²
converge a -2.

Método "a"

z = x + i y x = -2 y = 0 (límite)

zn = xn + i yn xn = -2 yn = (-1)2
n²
lím zn = z
n(∞

si y sólo si
lím xn = x y...