Clave 101 2 M 1 00 2011

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CLAVE DE EXAMEN

CURSO:

Matemática básica 1

SEMESTRE:

Primero

CODIGO DE CURSO:

101

TIPO DE EXAMEN:

Segundo parcial

FECHA DE EXAMEN:

24 de marzo de 2011

NOMBRE DE LA PERSONA
QUE RESOLVIO EL EXAMEN:

NOMBRE DE LA PERSONA
QUE DIGITALIZO EL EXAMEN:

José Francisco Sánchez
Sánchez

José FranciscoSánchez
Sánchez

Segundo examen parcial
Tema 1: (25 puntos)
Dadas las funciones f ( x ) = 8 − x 2 y

g ( x) = 5 − x

(a) Determinar el dominio y rango de cada función.
(b) Calcule ( f  g ) (x)
(c) Determine si la función f es uno a uno, si no lo es, haga las restricciones necesarias
para que lo sea
(d) Encuentre f −1 ( x) , indique cual es su dominio y su rango.
(e) Dibuje la representación gráfica de fy f −1 en un mismo sistema de coordenadas.
Tema 2: (25 puntos)
La figura muestra la representación gráfica de
una función h( x)
(a) Determine el dominio y rango de la
función.
(b) Grafique y = −h( x + 2) + 3
(c) Encuentre el valor de ( h  h)( x)
(d) Encuentre el valor de h(0)
Tema 3: (20 puntos)
Una compañía de televisión por cable da servicio a 5,000 usuarios y cobra una tarifa de
Q 20 por mes.Un estudio de mercado indica que por cada quetzal menos en la tarifa
mensual, se suscribirán 500 nuevos clientes. Si I ( x ) representa el ingreso mensual de
la compañía.
(a) Construya una función que modele el ingreso I ( x )
(b) Determine el precio que debe tener el servicio para que el ingreso de la compañía
sea máximo.
(c) Calcule el ingreso máximo,
Tema 4: (15 puntos)
Construya una funciónpolinomial de grado 4 que tenga como raíces x = 2 , x = −3 y
x = 1 de multiplicidad 2. Además la gráfica del polinomio corta al eje y en 5. Dibuje la
representación gráfica.
Tema 5: (15 puntos)
Para el polinomio p( x) = 2 x 4 + 5 x 3 −11x 2 − 20 x +12
(a) Liste los posibles ceros racionales.
(b) Determine los ceros de la función.

SOLUCION DEL EXAMEN
Tema 1: (25 puntos)
Dadas las funciones f(x) =8 − x 2 y

g ( x) = 5 − x

(a) Determinar el dominio y rango de cada función.
g ( x) = 5 − x

f ( x) = 8 − x 2

D = Todos los reales
R= (-∞,8]

D= 5 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5
D=(-∞,5] R=(0, ∞)

(b) Calcule ( f  g ) (x)
( f  g ) (x) equivale a valuar la función g en x y luego sustituir esta función en la x de la
función f, de esta forma:
( f  g )( x) = 8 − ( 5 − x ) 2 = 8 − (5 − x) = 3 + x

(c) Determinesi la función f es uno a uno, si no lo es, haga las restricciones necesarias
para que lo sea
De acuerdo a la prueba de la recta horizontal
esta función no es uno a uno ya que la recta toca
dos puntos de la función, para que esta función
sea uno a uno se debe restringir al dominio
D = [0, ∞) .

(d) Encuentre f

−1

( x ) , indique cual es su dominio y su rango.

f ( x) = 8 − x 2
x = 8 −( f

−1

x −8 = −( f
8 −x =( f

)2

−1

−1

)2

)2

8 − x = f −1
D = ( −∞,8]
R = [0, ∞)

(e) Dibuje la representación gráfica de f y f

−1

en un mismo sistema de coordenadas.

Tema 2: (25 puntos)
La figura muestra la representación gráfica de
una función h( x)
La función h(x) esta dada por:
−x−4 para −5≤x ≤−4
h x =  x4 para −4≤x0
x 2−1 para
0≤x≤2

{

(a)Determine el dominio y rango de la función.
D=[-5,2] R= [-1,3]
(b) Grafique y=−h  x+ 23 la grafica de esta función estará trasladada 2 espacios a
la derecha 3 hacia arriba y reflejada sobre el eje “x”

(c) Encuentre el valor de  h°h −3 

 h°h −3  Equivale a valuar la función h en 3 y luego valuar la función h en el
resultado de h(3) ya que h es una función dada por partes las funciones varías
dependiendo de el intervalo que se estatrabajando.
 hh −3 =h  h−3 
h −3 = −34= 1=1
h  h−3 =h 1
h 1 =12 −1=0
(d) Encuentre el valor de h 0 
2

h 0 =0 −1=−1
Tema 3: (20 puntos)
Una compañía de televisión por cable da servicio a 5,000 usuarios y cobra una tarifa de
Q 20 por mes. Un estudio de mercado indica que por cada quetzal menos en la tarifa
mensual, se suscribirán 500 nuevos clientes. Si I  x ...