CLAVE Parcial Matebasica 1

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE-101-4-M-2-00-2013

CURSO:

Matemática Básica 1

SEMESTRE:

Segundo

CÓDIGO DEL CURSO:

101

TIPO DE EXAMEN:

Examen Final

FECHA DE EXAMEN:

Segundo Semestre 2013

NOMBRE DE LA PERSONA QUE
RESOLVIÓ EL EXAMEN:

Brian Josue Foronda Romero

NOMBRE DE LA PERSONA QUE
REVISÓ EL EXAMEN:

Ing. Alfredo GonzalesUniversidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática
Matemática Básica 1

Examen Final
TEMA 1 (30 puntos)
(a) Resuelva la ecuación:

2𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2,

(b) Resuelva la ecuación:

2𝑙𝑜𝑔25 (𝑥 − 3) − 1 = 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 − 7)

(c) Resuelva la desigualdad:

1
𝑥+3

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

1

− 2𝑥 ≥ 0

TEMA 2 (15 puntos)
Plantee un sistema de ecuaciones y resuelva mediante procesosalgebraicos, el siguiente
problema. Un conductor descubre que si incrementa su velocidad en 15 kilómetros por hora,
puede recorrer una distancia de 900 kilómetros en dos horas menos del tiempo previsto
inicialmente. Calcule la velocidad original a la que el conductor planeaba el viaje.
TEMA 3 (20 puntos)

Un alambre de 60 pulgadas de longitud se corta en dos partes, con la primera parte de longitudx forma un cilindro y con la segunda se forma un cuadrado.
(a) Exprese el área del círculo en términos de x.
(b) Exprese el área del cuadrado en términos de x.
(c) ¿Para qué valores de x la suma de las áreas será mínima?
TEMA 4 (15 puntos)
Encuentre las coordenadas del centro, los vértices, los focos, ecuaciones de las asíntotas, (si
las tiene) y dibuje la representación gráfica de la cónica cuyaecuación es:
4𝑦 2 − 𝑥 2 + 40𝑦 − 4𝑥 + 60 = 0
TEMA 5 (20 puntos)
Desde un barco que navega hacia un faro, se observara que el ángulo de elevación a la parte
más alta del faro es de 15° . Cuando el barco se ha desplazado 100 metros el ángulo de
elevación es de 23° . Calcula la altura del faro y la distancia a la cual se encuentra el barco del
faro en el momento de la segunda observación.Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática
Matemática Básica 1

SOLUCIÓN DE EXAMEN

TEMA 1 (30 puntos)

2𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2,

(a) Resuelva la ecuación:

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

2(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃) + 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2 = 0
2 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2 = 0
𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 0
𝑐𝑜𝑠𝜃(1 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃) = 0
𝑐𝑜𝑠𝜃 → 0 , 1/2
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0
𝜃1 =

𝜋
2

𝜃2 =

3𝜋
2

𝜃4 =

5𝜋
3

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1⁄2
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (1⁄2)
𝜃 =𝜋⁄3
𝜃3 =
(b) Resuelva la ecuación:

𝜋
3

2𝑙𝑜𝑔25 (𝑥 − 3) − 1 = 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 − 7)
2𝑙𝑜𝑔25 (𝑥 − 3) − 1 = 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 − 7)
𝑙𝑜𝑔25 (𝑥 − 3)
2
− 1 = 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 − 7)
𝑙𝑜𝑔5 25
𝑙𝑜𝑔25 (𝑥 − 3)
2
− 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 − 7) = 1
2
𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 − 3) − 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 − 7) = 1
(𝑥 − 3)
𝑙𝑜𝑔5
=1
(𝑥 − 7)

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática
Matemática Básica 1
𝑥−3
=5
𝑥−7
𝑥 − 3 = 5𝑥 − 35
4𝑥 = 32

𝑥=8

(c)Resuelva la desigualdad:

1
𝑥−3

1

− 2𝑥 ≥ 0

1
1
−
≥0
𝑥 − 3 2𝑥
2𝑥 − (𝑥 + 3)
≥0
2𝑥(𝑥 + 3)
2𝑥 − (𝑥 + 3)
≥0
2𝑥(𝑥 + 3)
Valores críticos: 𝑥 = {−3,0,3}
k
-4
-2
1
4
Factor/Intervalo (−∞, −3) (−3,0) (0,3) (3, ∞)
𝑥−3
−
−
−
+
𝑥
−
−
+
+
𝑥+3
−
+
+
+
𝑥−3
−
+
−
+
2𝑥(𝑥 + 3)
SOLUCION:

𝐱 ∈ (−𝟑; 𝟎) ∪ [𝟑, +∞)

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática
MatemáticaBásica 1

TEMA 2 (20 puntos)
v=

s
t

s

v

NORMAL

900 km

X

RAPIDO

900 km

X+15

𝑠
𝑣
900
𝑥
900
𝑥 + 15
𝑡=

Condicion:
𝑡𝑁 = 𝑡𝑅 + 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
900
900
=
+2
𝑥
𝑥 + 15
900
900
−
−2=0
𝑥
𝑥 + 15
900(𝑥 + 15) − 900𝑥 − 2𝑥(𝑥 + 15)
=0
𝑥(𝑥 + 15)
900𝑥 + 13500 − 900𝑥 − 2𝑥 2 − 30𝑥
=0
𝑥(𝑥 + 15)
−2𝑥 2 − 30𝑥 + 13500 = 0
𝑥 2 + 15𝑥 − 6750 = 0
𝑥1 = −90

RESPUESTA
75 𝑘𝑚⁄ℎ

𝑥2 = 75

Universidad de San Carlos de GuatemalaFacultad de Ingeniería

Departamento de Matemática
Matemática Básica 1

TEMA 3 (40 puntos)
a) Para el círculo:
𝑐 = 2𝜋𝑟 = 𝑥
𝑟=

𝑥
2𝜋

𝑥 2
𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝜋 ( )
2𝜋
𝐴1 =

𝑥2
4𝜋

b) Para el cuadrado:
𝐴𝑟𝑒𝑎 =

60 − 𝑥 60 − 𝑥
∗
4
4

𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝐴2 =

(60 − 𝑥)2
16

3600 − 120𝑥 + 𝑥 2
16

𝐴2 = 225 −

15
1
𝑥 + 𝑥2
2
16

c) Area combinada:
𝐴(𝑥) = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 + 𝐴𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
𝐴(𝑥) =

𝑥2
1
15
+ 𝑥 2 − 𝑥 + 225
4𝜋 16
2

1
1
15
𝐴(𝑥) = ( +...