CLAVE2 MB2

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE-103-1-V-1-00-2015

CURSO:

Matemática Básica 2

SEMESTRE:

Primero

CÓDIGO DEL CURSO:

103

TIPO DE EXAMEN:

Primer Examen Parcial

FECHA DE EXAMEN:

Febrero de 2015

NOMBRE DE LA PERSONA QUE
RESOLVIÓ EL EXAMEN:

Edy Rodríguez

NOMBRE DE LA PERSONA QUE
REVISÓ EL EXAMEN:

Ing. Alfredo GonzálezUniversidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemáticas
Matemática básica 2

Guatemala, 17 de febrero de 2015

Primer examen parcial
Tema 1 (40 puntos)
Resuelva los siguientes límites:
a) lim𝑥→2−

𝑥−1
𝑥−1

𝑥−sin 3𝑥

b)lim𝑥→0 𝑥+sin 2𝑥

d) Determine el valor de a para que lim𝑥→∞

𝑎𝑥 −𝑥 (2+𝑎𝑥 )
3𝑥 2 +1

c)lim𝑥→1−

𝑥 1/2 −𝑥
𝑥−1

=2

Tema 2 (15 puntos)
Utilizando ladefinición de derivada de una función, demuestre que la velocidad de un objeto que se mueve
con aceleración constante a viene dada por 𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, si la función de posición es
𝑠 𝑡 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 + 12𝑎𝑡 2 , (Considere constantes 𝑣0 𝑦 𝑠0 )
Tema 3 (15 puntos)
a) Encuentre los valores de las constantes a y b para que la función
−𝑥 2 + 3 𝑠𝑖
𝑥<2
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 4
5
𝑠𝑖
𝑥≥4
sea continua en todos los reales,b) determine si la función es diferenciable en x=2 y x=4
Tema 4 (15 puntos)
Encuentre las coordenadas del punto de la parábola 𝑦 = 4 − 𝑥 2 , cuya recta tangente es perpendicular a la
recta que pasa por el punto (4, 9/2)

Tema 5 (15 puntos)
Utilizando reglas de derivación, encuentre la derivada de las siguientes funciones
a) 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑥 tan 𝑥

sin 𝑥−cos 𝑥

b) 𝑦 = sin 𝑥+cos 𝑥

SOLUCION DE EXAMENTema 1 (40 puntos)
Resuelva los siguientes límites:
a) lim𝑥→2−

𝑥−1

𝑥−sin 3𝑥

b)lim𝑥→0 𝑥+sin 2𝑥

𝑥−1

d) Determine el valor de a para que lim𝑥→∞

a) lim𝑥→2−

c)lim𝑥→1−

𝑎𝑥 −𝑥 (2+𝑎𝑥 )
3𝑥 2 +1

=2

𝑥−1
𝑥−1

SOLUCIÓN
𝑥−1

𝑠𝑖

𝑥−1≥0

𝑥≥1

− 𝑥−1

𝑠𝑖

𝑥−1<0

𝑥<1

Utilizando 𝑥 − 1 =

𝒍𝒊𝒎−

𝒙→𝟐

b)

lim𝑥→0

𝒙−𝟏
=𝟏
𝒙−𝟏

𝑥−sin 3𝑥
𝑥+sin 2𝑥

SOLUCIÓN
Manipulando la expresión:

lim

𝑥→0

𝑥 1−
𝑥 1+

sin 3𝑥
𝑥
sin2𝑥
𝑥

=

lim

𝑥→0

1−
1+

3sin 3𝑥
3𝑥
2sin 2𝑥
2𝑥

=

Aplicando
lim

𝑥→0

sin 𝜃
=1
𝜃

Aplicando el límite y sus propiedades:
1−3 1
2
=−
1+2 1
3

𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙
𝟐
=−
𝒙→𝟎 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙
𝟑

𝐥𝐢𝐦

lim

𝑥→0

1−3∙
1+2∙

sin 3𝑥
3𝑥
sin 2𝑥
2𝑥

𝑥 1/2 −𝑥
𝑥−1

c) lim𝑥→1−

𝑥 1/2 −𝑥
𝑥 −1

SOLUCIÓN
Se evalúa el límite:

𝑥1/2 − 𝑥
lim
𝑥→1− 𝑥 − 1

=

0
0

Manipulando la función:
1

lim−

1

𝑥2 1 − 𝑥2

𝑥→1

𝑥

2

−1

lim−𝑥→1

1

=

1

𝑥2 1 − 𝑥2

lim−

𝑥−1

𝑥→1

𝑥+1

𝑥 1− 𝑥
− 1− 𝑥

=

=

𝑥+1

lim−

𝑥→1

lim−

𝑥→1

1
1+ 1

=−

−

1
2

𝒙𝟏/𝟐 − 𝒙
𝟏
𝐥𝐢𝐦−
=−
𝒙→𝟏
𝒙−𝟏
𝟐

d) Determine el valor de a para que lim𝑥→∞

𝑎𝑥 −𝑥 (2+𝑎𝑥 )
3𝑥 2 +1

=2

SOLUCIÓN
Reordenando la función:

lim

𝑥 𝑎2 − 𝑎 + 𝑥 2𝑎 − 2
3𝑥2 + 1

𝑥→∞

Factorizando 𝑥 2 en denominador y numerador:

lim

𝑥→∞

𝑥2

𝑎2 − 𝑎 +
𝑥2

3+

1
𝑥2

2𝑎−2
𝑥

𝑥−1

𝑥

Evaluando ellímite:
−

𝑥 1− 𝑥

=2

𝑥+1

𝑥+1

𝑎2 − 𝑎 +

lim

𝑥→∞

3+

2𝑎−2
𝑥

𝑎2 − 𝑎

=

1

3

𝑥2

Igualando el resultado:
𝑎2 − 𝑎
=2
3
𝑎2 − 𝑎 − 6 = 0
𝑎−3 𝑎+2 = 0
𝑎1 = 3 , 𝑎2 = −2

Tema 2 (15 puntos)
Utilizando la definición de derivada de una función, demuestre que la velocidad de un objeto que se mueve
con aceleración constante a viene dada por 𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, si la función de posición es
𝑠 𝑡 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 + 12𝑎𝑡 2 ,(Considere constantes 𝑣0 𝑦 𝑠0 )
SOLUCIÓN
𝑣

𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑚

=

∆𝑠
𝑣
∆𝑡

𝑡 𝑖𝑛𝑠

= lim

1

𝑣

𝑡

= lim

𝑠𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 + ∆𝑡 + 2 𝑎 𝑡 + ∆𝑡

∆𝑠

∆t→0 ∆𝑡

2

∆𝑡

∆t→0

1

𝑣

𝑡

= lim

1

− 𝑠𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2

𝑠𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑣𝑜 ∆𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 + 𝑎𝑡∆𝑡 + ∆𝑡

2

∆𝑡

∆t→0

𝑣

𝑣𝑜 ∆𝑡 + 𝑎𝑡∆𝑡 + ∆𝑡
∆t→0
∆𝑡

𝑡

= lim

𝑣

𝑡

𝑣

∆𝒕 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡 + ∆𝑡
∆t→0
∆𝒕

= lim

𝑡

= lim 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡 + ∆𝑡
∆t→0

2

1

− 𝑠𝑜 − 𝑣𝑜 𝑡 − 2 𝑎𝑡 2

Evaluando ellímite:
𝑣

𝑡

= 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡

𝒗

𝒄

= 𝒗𝒐 + 𝒂𝒄

Tema 3 (15 puntos)
a) Encuentre los valores de las constantes a y b para que la función
−𝑥 2 + 3 𝑠𝑖
𝑥<2
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 4
5
𝑠𝑖
𝑥≥4
Sea continua en todos los reales, b) determine si la función es diferenciable en 𝒙 = 𝟐 y 𝒙 = 𝟒
SOLUCIÓN
Los puntos de empalme son 𝑥 = 2 y 𝑥 = 4, aplicar las condiciones de continuidad:
1. 𝑓 𝑎
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
2. lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =...