CLAVE4 MB2

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE DE EXAMEN

CURSO:

Matemática Básica 2

SEMESTRE:

Primero

CODIGO DEL CURSO:

103

TIPO DE EXAMEN:

Primer Parcial

FECHA DE EXAMEN:

20/02/2008

NOMBRE DE LA PERSONA QUE
RESOLVIO EL EXAMEN:

Abner García

NOMBRE DE LA PERSONA QUE
DIGITALIZÓ EL EXAMEN:

Mariela Benavides
2008-19245

TEMARIO DE EXAMENUNIVERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA

MATEMÁTICA BASICA 2
PRIMER EXAMEN PARCIAL

TEMARIO R
TEMA NO. 1.
Hacer la gráfica con asíntotas, dejando constancia de todas sus operaciones
para trazar la misma.

2𝑥2

𝑓 𝑥 = 𝑥2−𝑥−2

TEMA NO. 2
Calcular los siguientes límites.
𝑥 2 +9−3

a)

lim𝑥→0

b)

lim𝑥→1

c)

lim𝑥→4−

𝑥2
𝑥−𝑥 2
1− 𝑥
𝑥+4
𝑥+4

TEMA NO. 3
Calcular los valores de “a” y de “b”, paraque la función sea continua con su
gráfica.

𝑓 𝑥 =

2𝑥 + 𝑎
3𝑥
2𝑥 − 𝑏

𝑠𝑖
𝑠𝑖
𝑠𝑖

𝑥 ≤ −1
−1 < 𝑥 < 1
𝑥≥1

TEMA NO. 4
a) Si 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑓(𝑥) 𝑋𝑉𝐼𝐼
b) SI 𝑓 𝑥 =

8
4

𝑥

+ tan3 (cos(5𝑥)) 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑓′(𝑥)

TEMA NO. 5
Escriba las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 𝑦 = 𝑥 2 que pasan
por (1,-1).

SOLUCIÓN DEL EXAMEN
TEMA NO. 1.
Hacer la gráfica con asíntotas, dejando constancia detodas sus operaciones
2𝑥2

𝑓 𝑥 = 𝑥2−𝑥−2

para trazar la misma.

Asíntotas verticales:
Cuando el denominador es igual a cero, la función es indeterminada ya que si
𝑓 𝑐 ≠ 0 , 𝑔 𝑐 = 0, y existe un intervalo abierto que contiene a c tal que la
𝒇 𝒙

𝑔 𝑥 ≠ 0 ∀ 𝑥 ≠ 𝑐, entonces la gráfica de 𝒉 𝒙 = 𝒈 𝒙 tiene una asíntota vertical
en 𝑥 = 𝑐.
De donde igualando 𝑔 𝑥 a cero, se obtienen los valores de 𝑥 paralos cuales la
función es indeterminada.
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = 2 ; 𝑥 = −1
Entonces para 𝑓 𝑥 =

2𝑥 2
𝑥 2 −𝑥−2

, se tienen dos asíntotas verticales en
𝑥 = 2 ; 𝑥 = −1

Por lo tanto cuando la función tiende a 𝑥 = 2 𝑜 𝑥 = −1 tanto por la derecha,
como por la izquierda los valores de la función tienden a ∞ 𝑜 − ∞.
Aplicando límites para encontrar estos valores tenemos:
2𝑥2

lim𝑥→2+ 𝑥2−𝑥−2 =+∞.
2𝑥2

lim𝑥→2− 𝑥2−𝑥−2 = −∞.
2𝑥2

lim𝑥→−1+ 𝑥2−𝑥−2 = −∞.
2𝑥2

lim𝑥→−1− 𝑥2−𝑥−2 = +∞.

Asíntota horizontal:
Por la definición de asíntota horizontal de una grafica 𝒇 𝒙 sabemos que: la
recta 𝑦 = 𝐿 es una asíntota horizontal si:
lim𝑛→∞ 𝑓 𝑛 = 𝐿 O lim𝑛 →−∞ 𝑓 𝑛 = 𝐿.
Por lo tanto para 𝑓 𝑥 =

lim

𝑥→∞

1

2𝑥2
𝑥2 − 𝑥 − 2

∗

1

2𝑥 2
𝑥 2 −𝑥−2

𝑥2

tenemos:

= lim

𝑥→∞

𝑥2

2𝑥2 /𝑥2
2
=
lim
=2
𝑥2 /𝑥2 − 𝑥/𝑥2− 2/𝑥2 𝑥→∞ 1

Por lo tanto 𝑦 = 2 es una asíntota horizontal para 𝑓 𝑥 .
Graficando tanto asíntotas horizontales como verticales en el mismo plano xy;
tomando en cuenta la tendencia obtenida con los límites:

𝑓 𝑥 =

2𝑥 2
𝑥 2 −𝑥−2

TEMA NO. 2
Calcular los siguientes límites.

a)

𝑥 2 +9−3

lim𝑥→0
lim

𝑥2
1

𝑥→0 𝑥 2 +9+3

=

∗

𝑥 2 +9+3
𝑥 2 +9+3

= lim

𝑥 2 +9−9

𝑥→0 𝑥 2 ( 𝑥 2 +9+3)

=

1
6

Al iniciose multiplica por

𝑥2 +9+3
𝑥2 +9+3

= 1 , para modificar la función, ya

que al valuarla en forma directa el limite obtenido es una forma
indeterminada.

b)

lim𝑥→1
lim

𝑥−𝑥 2
1− 𝑥

= lim

𝑥→1
𝑥 1− 𝑥 (1+ 𝑥+1)

𝑥→1

(1− 𝑥)

𝑥− 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
1− 𝑥

= lim

𝑥→1

3

𝑥(1− 𝑥 )
1− 𝑥

=

=3

Se modifica la función al inicio utilizando otras formas de representar las
partes de la función, ya que si se valúadirectamente el limite se obtiene
una forma indeterminada.
c)

lim𝑥→4−

𝑥+4
𝑥+4

= lim−
𝑥→4

−(𝑥+4)
𝑥+4

= −1

Ya que se busca la tendencia por el lado izquierdo se toma únicamente
el valor negativo de la función.
TEMA NO. 3
Calcular los valores de “a” y de “b”, para que la función sea continua con su
gráfica.
2𝑥 + 𝑎 𝑠𝑖
𝑥 ≤ −1
𝑓 𝑥 =
3𝑥
𝑠𝑖 −1 < 𝑥 < 1
2𝑥 − 𝑏 𝑠𝑖
𝑥≥1
Para obtener los valores de a y de b,utilizamos la información dada por el
problema para lo que se valúan los limites cuando la función tiende a -1 y a 1,
tanto por la izquierda como por la derecha, obteniendo cuatro ecuaciones:
lim𝑥→−1− 2𝑥 + 𝑎 = −2 + 𝑎.
lim+3𝑥 = −3.
𝑥→−1

lim𝑥→1− 3𝑥 = 3.
lim𝑥→1+ 2𝑥 − 𝑏 = 2 − 𝑏.
Igualando las ecuaciones obtenemos los valores de a y b, que satisfacen las
condiciones.
−3 = −2 + 𝑎
𝑎 = −3 + 2 = −1...