claves de examenes 1

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE DE EXAMEN

CURSO:

Matemática Básica 1

SEMESTRE:

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CÓDIGO DEL CURSO:

101

TIPO DE EXAMEN:

Segundo Parcial

FECHA DE EXAMEN:

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NOMBRE DE LA PERSONA QUE
RESOLVIÓ EL EXAMEN:

Aux. Luis Godoy

NOMBRE DE LA PERSONA QUE
DIGITALIZÓ EL EXAMEN:

Antonio José Toledo Cáceres
2008-15262TEMA 1 (20 PUNTOS)

TEMARIO D

a) Obtenga el valor positivo de k, si se sabe que al dividir P(x) entre x-1 el
residuo es 20 del polinomio P( x)  kx 2  x 2  k 2 x  15
3

b) Demuestre que  x   es factor del polinomio P( x)  2 x 3  x 2  4 x  15
2

c) Halle las raíces del polinomio para el valor positivo de k
TEMA 2 (20 PUNTOS)
Un depósito de agua tiene la forma de un cono recto circularinvertido de 3 pies de
radio y 4 pies de altura. Si se vierte agua al depósito a razón de 0.5 pies cúbicos
por minuto, halle:
a) El tiempo de llenado
b) Una función para el volumen en términos la altura del agua
c) Área del espejo en función de su altura
d) El nivel de agua cuando el depósito esté a la mitad de su capacidad
TEMA 3 (20 PUNTOS)
Un polinomio tiene las siguientes raíces: -1, raíznula de multiplicidad 3 y 1 de
multiplicidad 2. A partir de ello obtenga:
 1 9
a) El coeficiente principal, si se sabe que pasa por el punto   , 
 2 2
b) La forma factorizada de P
c) Los valores de f para los valores de x
d) Valores máximos y mínimos
TEMA 4 (20 PUNTOS)
Se tiene una esfera de metal de 2 pies de radio. Esta esfera se funde para
construir un cilindro recto circular y una pirámiderecta de base cuadrada con
volúmenes iguales. Halle el radio del cilindro y el lado de la base de la pirámide, si
la altura de cada sólido es de 1 pie.

TEMA 5 (20 PUNTOS)
En la figura, se muestra un triángulo de 2 3 cm de altura y 2 cm de base.
Halle el área sombreada.

SOLUCIONES
TEMA 1:
(a) Sabemos por el teorema del factor que si P(x) se divide dentro de x  1 , es lo
mismo que valuar lafunción en c=1,
P( x)  kx 2 x 2  k 2 x  15
P(1)  k (12 )  (12 )  k 2 (1)  15  20

k  1  k 2  15  20
Igualamos la ecuación a 0
k2  k 6  0

Encontramos el valor de k por fórmula

 b  b 2  4ac
k
2a

 1  (1) 2  4(1)(6)
k
2(1)

k

 1  25
2

K2 = -3

k1 = 2

Como solo nos piden el valor positivo de k entonces la ecuación polinomial se
puede reescribir como:
P( x)  x 2  4 x 15 siendo el valor positivo de k  2

3

factor  x  
2

Por medio de división sintética, dice que si se dividen los coeficientes del
polinomio dentro de “c” y queda 0 de residuo entonces c es un factor
(b) P( x)  2 x 3  4 x  15

-3/2

2
2

-1
-3
-4

+4
-6
10

+15
-15
0

(c) P( x)  2 x 2  4 x  10  0
Para sacar las raíces del polinomio utilizamos la fórmula cuadrática

x

 b  b 2 4ac
2a

x

 (4)  (4) 2  4(2)(10)
2(2)

x

4   64
4

Esto se puede reescribir como:

x

4  64 * (1)
4

x

4(1  2i )
4

x

4  64 *  1
4
x 2  1  2i
x1  1  2i

x

4  8i
4

TEMA 2:
(a) El tiempo de llenado

Vcono = (1/3)r2h
Vcono = (1/3)(3)2(4)
Vcono = 12 pies3
Sabemos que Q  V t

donde h  altura y r  radio

donde Q=caudal
V=volumen
t=tiempo

Despejamos el tiempo ysustituimos valores:

t V Q

t

12pies 3
pies 3
0.5
min

Tiempo de llenado 75.4 minutos

(b) Una función para el volumen en términos de la altura del agua.
Por triángulos semejantes podemos encontrar el radio en función de su altura

3 4

r h

3h  4r

r

3
h
4

El volumen del cono es:
V  (1 / 3)r 2 h

Sabemos que el radio es en función de la altura para este cono es:

r  3 / 4h

Sustituimos estedato en la ecuación del volumen y nos queda:
2

1  3h 
V ( h)     h
3  4

Simplificando:

V (h)  (3 / 16)h 3
(c) Área del espejo en función de su altura
El área del espejo de agua es:
A  r 2

Sustituimos r que es igual a:

r

3
h
4

A   (3 4h) 2

A

9h 2
16

(d) El nivel de agua cuando el depósito está a la mitad de su capacidad
De la ecuación V  3 16h 3
16V
 h 3
3

h3 ...