Columnas

Columnas
• Columnas – los miembros largos que soporta una carga de compresión axial.

a) Carga es concéntrica (aplicada a lo largo del eje centroidal) b) Carga excéntrica (aplicada paralelamente al eje del miembro centroidal, pero a cierta distancia del mismo)

• Si se aplicara una fuerza de compresión gradualmente creciente a la barra larga, fallaría porque se presentaría repentinamenteuna gran deflexión lateral. Esta deflexión lateral llamado pandeo es producida por la inestabilidad de la barra cuando se alcanza una cierta carga critica.

Tipos de falla

1. Las columnas cortas fallan por aplastamiento del material. 2. Las columnas largas fallan por pandeo. 3. Las columnas intermedias fallan por una combinación de pandeo y aplastamiento.

• Las columnas cortas puedenanalizarse y diseñarse con la formula elemental = P/ A. • En las columnas largas e intermedias debe que considerar el fenómeno de pandeo.

Formula de Euler para columnas
• La base de la teoría de las columnas es la formula de Euler, que fue publicada en 1757 por Leonardo Euler, un matemático suizo. • La formula de Euler es valida solamente para columnas largas. • La carga critica de pandeo es lacarga axial máxima que una columna puede soportar cuando esta a punto de pandearse.

Suposiciones
• • • • Supongamos que esta columna inicialmente es recta, homogénea, y de sección transversal constante en toda su longitud. Se aplica la ley de Hooke y los esfuerzos son inferiores al limite de proporcionalidad del material.

• Cuando la columna es cargada con la carga critica de pandeo,
puedetener 2 posiciones de equilibrio,  La posición recta.  La posición ligeramente deformada.

• Como una columna ideal (fig. a) es recta, teóricamente la fuerza axial P podría ser incrementada hasta que ocurra la falla, sea por fractura o por fluencia del material. • Cuando se alcanza la carga critica Pcr, la columna esta a punto de volverse inestable, de manera que una pequeña fuerza lateral(fig.b), ocasionara que la columna permanezca en la posición deflexionada cuando F deje de actuar (fig. c).

• Cualquier reducción leve de la carga axial P a partir de Pcr permitirá que la columna se enderece. • Cualquier incremento leve de P, mas allá de la Pcr, ocasionara incrementos adicionales en la deflexión lateral. • Para determinar la carga critica y la forma pardeada de la columna, seaplicara la relación, el momento interno en la columna con su forma deflexionada.

Esta es una ecuación diferencial de segundo grado homogénea con coeficientes constantes. La solución general es P P v = C1 sen ( ------ x ) + C2 cos ( ------ x ) EI EI

cuando x = 0, v = 0, 0 = C1(0) + C2 (1) C2 =0

• Cuando x =L, v = 0, P C1 sen ( ------- ) L = 0 EI Este ecuación se satisface cuando C1 =0.en tal caso v=0, la cual es una solución trivial que requiere que la columna siempre permanezca recta, aun cuando la carga ocasione que la columna se vuelva inestable.

La otra posibilidad es que P sen ( ------- ) L = 0 EI La cual se satisface, cuando (

P ------- ) L = n EI

n2 2 EI • P = --------------- donde n = 1,2,3,…… L2

P =

n2 2 EI --------------L2

donde n = 1,2,3,……La carga critica (carga de Euler) para la columna es 2 EI Pcr = --------L2 donde E – modulo de elasticidad del material I - menor momento de inercia de la sección transversal de la columna. L – longitud no soportada de la columna, cuyos extremos están articulados.

La forma pandeada correspondiente x
v = C1 sen ---------L

Formulas de Euler para otras condiciones de los extremos
• Lalongitud efectiva es la distancia entre los puntos de inflexión de la curva deformada que adopta el eje de la columna.

Formulas de Euler para otras condiciones de los extremos

Formulas de Euler para otras condiciones de los extremos
2 EI

Pcr = ----------(K L)2

donde K es el factor de longitud efectiva.
Condiciones de extremos Valor de Constante K

Articulado – articulado
Empotrado –...