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¿CÓMO SE HACE…
EL CÁLCULO DEL VALOR DE OPCIONES SOBRE ACCIONES USANDO EL MÉTODO BINOMIAL?
ANTECEDENTES El método binomial fue desarrollado por Cox, Ross y Rubinstein en 1979. Asume que el precio del activo subyacente sigue una evolución binomial y simplifica, suponiendo entre otros, que existe un tipo de interés sin riesgo, conocido y constante para el período considerado, al que el mercadopuede prestar y tomar prestado (coincidente) Detrás de este método subyace el argumento del arbitraje por el cual: √ Yo puedo construir una cartera de cobertura de opciones y acciones de forma que dicha cartera esté libre de riesgo. Para construir dicha cartera tendré que tener en cuenta la Delta de la opción (es decir, la primera derivada del valor de la opción respecto al precio de la acción que memuestra cómo varía el valor de la opción ante variaciones del precio de la acción subyacente) que me permitirá determinar el número de acciones que combinadas con una opción forman una cartera de cobertura. Que esté libre de riesgo quiere decir que los pagos futuros que voy a recibir por dicha cartera no variarán en función de cómo fluctúe el precio del subyacente.

√

DESARROLLO TEÓRICO DELMÉTODO Asumamos que tenemos Delta acciones y una posición corta (vendedora) en una opción de compra (call). Se trata de una de las carteras de cobertura posibles (otra sería tener Delta acciones y una posición larga en una put) Asimismo, denominaremos: S = Valor del subyacente en el momento inicial Su = Valor máximo que puede tomar el subyacente en el momento 1 (posterior al momento inicial) > seobtendrá como u x S (u > 1) Sd = Valor más pequeño que puede tomar el subyacente en el momento 1. Se obtendrá como d x S (d < 1) C = Valor de la opción call en el momento inicial (es el valor que deseamos calcular) Cu = Valor que tomará la opción si el subyacente vale Su Cd = Valor que tomará la opción si el subyacente vale Sd Los valores Su y Sd los obtendremos generalmente de previsiones deanalistas (promedios de las previsiones de los analistas que opinen sobre un determinado valor que sea el subyacente de nuestras opciones). Si se trata verdaderamente de una cartera de cobertura (sin riesgo) se puede inferir que, con independencia de los valores que tome el subyacente en el momento 1 (Su o Sd), deberemos obtener el mismo importe (obtendremos la misma rentabilidad con esa cartera deacciones y opciones). Es decir: (Delta acciones x Su – Cu) = (Delta acciones x Sd – Cd) Si despejamos Delta, obtenemos que: Delta = (Cu – Cd) / (Su – Sd) Por lo tanto, ya tenemos la fórmula para determinar el número de acciones necesarias para combinarlas con una call vendida para construir una cartera de cobertura.

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EL CÁLCULO DEL VALOR DE OPCIONES SOBRE ACCIONES USANDO EL MÉTODOBINOMIAL?

Siguiendo con el razonamiento de la naturaleza de la cartera de cobertura, también se puede inferir que la rentabilidad obtenida por esa cartera entre el momento inicial y el momento 1 será la rentabilidad libre de riesgo. Esto es así porque si de una cartera de cobertura (libre de riesgo) se obtuviese una rentabilidad superior a la rentabilidad libre de riesgo, habría oportunidadesde arbitraje que acabarían igualando la rentabilidad de la citada cartera con la rentabilidad libre de riesgo. Por lo tanto: (Delta x S – C) = (Delta x Su – Cu) / (1+rf) = (Delta x Sd – Cd) / (1+rf) Despejando y sustituyendo, podemos obtener que: C = Valor de la opción en el momento inicial = (1/(1+rf)) x [ ((1+rf-d) / (u-d)) x Cu + (1((1+rf-d)/ (u-d)) x Cd ] Siendo (1+rf-d) / (u-d) laprobabilidad neutral al riesgo (neutral a las expectativas) Si nos fijamos en la fórmula mostrada, se puede concluir que el valor de la opción en el momento inicial depende de los posibles valores (Cu y Cd) que tome dicha opción en el siguiente momento (momento 1), de la rentabilidad libre de riesgo y de la probabilidad neutral al riesgo. Fijémonos en que en ningún caso entran a jugar aquí las expectativas...