Combinacion Lineal

Combinación lineal.
Un vector  se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores  si se puede expresar como suma de los vectores de  multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , es decir:
.
Así,  es combinación lineal de vectores de  si podemos expresar  como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de .
Ejemplo:
El vector (20, 12, 37)es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9):



Otro ejemplo:
 : Se dice que  es combinación lineal de  y de , porque podemos escribir  sin más que despejar la . De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
Los escalares dicen cuánto de cada vector del conjunto  necesito para que,cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar el vector  en cuestión

Vectores dependientes e independientes.
Dado un conjunto finito de vectores , se dice que estos vectores son linealmente dependientes si existen números , no todos iguales a cero, tales que:

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo . El conjunto devectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes. La definición anterior también puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemosredefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores  de un espacio vectorial es linealmente independiente si 
Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:
1. Un conjunto de vectores eslinealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.
3. Si un conjuntode vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga.
4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y sólo si son paralelos.
5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si los componentes entre ellos son proporcionales, bien sea directa o inversamente proporcional. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tienealgún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande será linealmente dependiente.
Ejemplos.
Un método alternativo usa el hecho que n vectores en Rn son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estosvectores como columnas es distinto de cero.
Dados los vectores:

La matriz formada por éstos es:

El determinante de esta matriz es:

Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes
¿Son los tres vectores siguientes independientes?

Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:

Lo que equivale al sistema de ecuacionessiguiente:

Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.

Ojo de aquí copiar ejercicio 2 como ejemplo dependiente.

Ojo de aquí copiar ejercicio 10 como ejemplo dependiente.



Base canonica en R2.
Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo de escalares  o , la base canónica o base usual es una colección de vectores linealmente independientes...