Combinación lineal

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR
PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
RAFAEL MARÍA BARALT
EXTENSIÓN – SAN FRANCISCO







ÁLGEBRA LINEAL
















San Francisco; Mayo de 2013
COMBINACIÓN LINEAL
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtieneal sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.


Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
Esta combinación lineal es única.
Determinar si  es combinación lineal de los vectores  en  
Demostración: Tenemos que determinar  tal que
(1;2;1) = a(1;2;1)+b(1;1;2)+c(1;2;3)
(1;2;1) = (a+b+c;2a+b+2c;a2b+3c) es decir, 

Determinando la matriz del sistema tenemos, Luego el sistema tiene solución, es decir, 

Por lo tanto  es combinación lineal de los vectores  

Ejemplo Determinar si  es combinación lineal de los vectores  en  
Demostración: Tenemos que determinar  tal que
(1;2;1) = a(1;2;1)+b(1;1;2)+c(1;2;3) 
(1;2;1) = (a+b+c;2a+b+2c;a+2b+3c) es decir, 

Determinando la matriz del sistema tenemos, 

Luego el sistema no tiene solución, es decir,no existen  tales que satisfagan el sistema. 
Por lo tanto  no es combinación lineal de los vectores  

Ejemplo. Determinar si  es combinación lineal de los vectores 
 en  
Demostración: Tenemos que determinar  tal que
1+x+x2 = a(1+x+2x2)+b(1+3x+2x2)+c(1x+x2)
1+x+x2 = (a+b+c)1+(a+3bc)x+(2a+2b+c)x2 es decir, 

Determinando la matriz del sistema tenemos, 

Luego el sistema tienesolución, es decir, existen  tales que 

Por lo tanto  es combinación lineal de los vectores 
 y 

SISTEMAS EQUIVALENTES DE VECTORES

Dos vectores son equivalentes (a este nivel los consideramos iguales) si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Se suelen representar , , … Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos que los definen pertenecen a rectasparalelas.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INDEPENDENCIA LINEAL

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma delos dos primeros. Los vectores que no son linealmente independientes son linealmente dependientes.
Sea {v1, v2,..., vn} un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números 'a1, a2,..., an, no todos iguales a cero, tal que:

Nótese que el cero en el lado derecho es el vector nulo, no el número cero. y el conjunto de vectores nulos forma la matriz nula.
Si talesnúmeros no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial es linealmente independiente si ∀ 
Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes y generan a un espacio vectorial, forman una base paradicho espacio.
Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es.
Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales queninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.
Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente también lo es todo conjunto que lo contenga.
Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro...