Combinatoria

Tarea 2

1. El consejo directivo de una empresa farmacéutica tiene 10 miembros de los cuales tres son médicos. Se va a elegir presidente, vicepresidente, secretario y tesorero del consejo.
a. ¿Cuántos arreglos se pueden formar en total?
Necesitamos elegirlos en orden pues la selección requiere una jerarquía: no es lo mismo elegir a “x” en primer lugar que elegir a “x” en cuarto; para laprimera elección “x” sería el presidente y el tesorero en el segundo caso.
Debido a esto el orden importa y se utilizan permutaciones:
Donde:
n= 10; r= 4


5040 arreglos diferentes.

b. ¿De cuántas formas se pueden elegir si se quiere que lo presida un médico?
Primero acomodamos a los médicos:
En la primera selección, el lugar del presidente puede ser ocupado de tres formas pues tenemos atres médicos disponibles para ese lugar.

Los 3 lugares restantes van a ser ocupados ahora por nueve personas pues uno de los médicos forzosamente ocupó el lugar del presidente. Por lo tanto, utilizamos la fórmula de permutación pero con:
n=9; r=3


Por último multiplicamos el número de arreglos que tenemos en el primer lugar por los 504 arreglos que se tienen para los tres lugares restantes:504*3 = 1512 arreglos diferentes

c. ¿De cuántas formas se pueden elegir si se quiere que haya al menos un médico entre los cuatro?
Primero calculamos el número de arreglos que NO tienen médicos. Si son 10 personas, de las cuales 3 son médicos, tendremos que hacer arreglos de 7 personas con los cuatro puestos disponibles; utilizando, de igual forma, permutaciones.
n=7; r=4


Ahora vieneel razonamiento importante:
El número total de arreglos calculado en el inciso a) menos el número de arreglos que NO tienen médicos me dará como resultado el número de arreglos que, por lo menos, tienen un médico.
El razonamiento viene de la teoría de conjuntos pues un conjunto A más el complemento del mismo (A’) me da el conjunto universal:
A+A’=Ω
Así:
5040 – 840 = 4200 arreglosdiferentes.


2. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 8 bolas diferentes en cinco cajas de distinto color?
Las bolitas son las que se repiten y se tienen que acomodar en las 5 cajas. Lo importante es determinar que los arreglos son con repetición para las bolas y que las cajas sí son diferentes. En el primer nivel voy a acomodar a la primera bola en las 5 cajas y así tengo que acomodar a las 8bolitas. En este caso utilizamos ordenaciones con repetición donde:

maneras.

3. Un estudiante debe realizar un examen de estadística con diez preguntas de las que debe contestar siete.
a. ¿De cuántas maneras diferentes el alumno puede contestar el examen?
Son 10 preguntas y 7 son las que deben ser contestadas. El orden de selección no importa ya que da lo mismo que conteste primero lapregunta 2 a que conteste primero la pregunta 8. Así, utilizo combinaciones donde:
n=10, r=7


120 tipos de examen.

b. Si debe contestar tres de entre las cinco primeras y cuatro de entre las 5 últimas, ¿cuántos tipos posibles de examen hay en este caso?
Calculamos los arreglos con las primeras 5 preguntas de las cuales hay que contestar 3 utilizando, de igual forma, las combinaciones. (n=5,r=3)


Posteriormente calculamos los arreglos para las 5 preguntas restantes de las cuales hay que contestar 4. (n=5, r=4)


Al final multiplicamos ambos resultados para obtener el total de arreglos:
10*5 = 50 tipos diferentes de examen.

4. En una fiesta tenemos que sentar alrededor de una mesa circular a cuatro chicos y cuatro chicas.
a. ¿De cuántas formas podemos hacerlo si queremos quelos sexos estén alternados?
Tenemos 8 lugares: 4 para los hombres y cuatro para las mujeres. Vamos a acomodarlos de la siguiente manera según los requerimientos del problema:

Mujeres

Hombres






Primero acomodamos a los hombres en la mesa. Esto se hará con Ordenaciones circulares sin repetición pues al primer hombre lo puedo acomodar únicamente de 4 maneras (4 lugares); al...