combinatoria

TEOREMAS GEOMÉTRICOS
THALES DE MILETO
Nació alrededor del año 640 a.C. en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía).
Falleció alrededor del año 560 a.C. en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía).
Thales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios. Como comerciante se cuenta de él que en unaño, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó todos los lagares para elaborar el aceite, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques. Como astrónomo fue más célebre, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor, comoasí mismo se cree que descubrió la constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol.
También se cree que conoció la carrera del sol de un trópico a otro. Explicó los eclipses de sol y de luna.
Finalmente creía que el año tenía 365 días. A Thales se le atribuyen 5 teoremas de la geometría elemental:
Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.Un círculo es bisectado por algún diámetro.
Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales.
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y un lado igual.
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Thales busca el fundamento natural de las cosas y cree, al respecto, que el principio originario,
la sustancia primordial de todas las cosas, es el agua.Su busto se exhibe en el museo del capitolio
en Roma, pero no es el contemporáneo de Thales.
 
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Al construir dos triángulos que tengan dos ángulos correspondientes congruentes, se puede concluir:

El ángulo C correspondiente a cada uno de los triángulos es congruente con los otros dos, porque por definición se sabe que los ángulos internos de cualquier triángulosuman 180°. La medida de los lados de uno de los triángulos resulta ser proporcional a la medida de los lados correspondientes del otro triángulo.
Es decir:
Los ángulos C y C´ cada uno es igual a 95°
El lado AB es proporcional al lado A´B.
El lado BC es proporcional al lado B´C.
El lado CA es proporcional al lado C´A.
Luego se puede afirmar que los dos triángulos son semejantes. Lasanteriores conclusiones se pueden enunciar mediante la siguiente regla:
Semejanza ángulo-ángulo (A-A)
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, los triángulos son semejantes. Ahora observa la figura:
 

Esta figura la conforma dos triángulos: ABC y DEC, donde el ángulo C es común a los dos triángulos, y se puede establecer la siguiente semejanza:Semejanza lado-ángulo-lado (L-A-L)
Si dos lados de un triángulo son proporcionales a los lados correspondientes de otro triángulo y el ángulo comprendido entre estos dos lados es congruente, se puede afirmar que los dos triángulos son semejantes.
Si se vuelve a la figura anterior:
 


Semejanza lado-lado-lado ( L-L-L )
Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales,entonces los triángulos son semejantes.
 

Dado el triángulo de la figura, encuentra los valores de x, y y z.

De la figura se extraen los siguientes datos:
AB = 8 cm,
DA = 4,5 cm
CA = 9 cm
CB = 10 cm
CD = 4,5 cm
Se sabe también que:
CE = y
EB = z
DE = x
Se pueden establecer las siguientes relaciones teniendo en cuenta las semejanzas estudiadas:
Como el,

Entonces:
CA/CD =CB/CE = AB/DE
Reemplazando valores conocidos en: CA/CD = AB/DE tenemos:

Para hallar el valor de y: AB/DE= CB/CE, entonces:

Ahora para hallar el valor de z: AB/DE = CB/EB, entonces:

Dado el triángulo de la figura, encuentra los valores de x, y , z.

Respuesta:
x = 8 cm, y = 5 cm, z = 5 cm

TEOREMA DE THALES
El teorema de Thales enuncia que si varias rectas paralelas entre...