Como medir el radio de la tierra


INTRODUCCIÓN

El proyecto de  “La Medida del radio de la Tierra” es tremendamente versátil desde el punto de vista curricular. Puede ir dirigido a diversos niveles educativos, desde infantil y primaria, hasta secundaria y bachillerato. Su adaptación estará en mano de los profesores de cada nivel.

¿Quién era Eratóstenes?
Antes que nada, ¿quién era  Eratóstenes?, y sobre todo: ¿cómodeterminó el radio de la Tierra? 

Eratóstenes nació en Cirene, una antigua ciudad griega en la actual Libia, probablemente en torno al año 276 a.C. Tras formarse con los mejores profesores y estudiar algunos años en la mismísima Atenas, Eratóstenes viajó en el 245 a.C. a Alejandría. Cinco años después se convertía en el tercer bibliotecario en la historia de la legendaria biblioteca de Alejandría,tras suceder a uno de sus antiguos maestros, el poeta y erudito Calímaco.

Supuestamente fue en la propia biblioteca de Alejandría, donde Eratóstenes leyó acerca de un lugar llamado Siena (hoy la actual Asuán, Egipto). En dicha ciudad, justo al mediodía del solsticio de verano, el Sol se reflejaba totalmente en las aguas de un profundo pozo y ninguna vara, ni objeto alguno, daba sombra. Es decir,ese día y a esa hora, los rayos del Sol caían completamente perpendiculares al suelo, o lo que es lo mismo, el Sol se encontraba en el cenit.

Eratóstenes observó que esto no ocurría en Alejandría, es decir, que al mediodía del solsticio de verano, una vara clavada en la tierra proyectaba una sombra, que las torres y los árboles también la proyectaban, y que en ningún pozo se reflejabatotalmente el Sol. En definitivas cuentas, al contrario que en Siena, en ese mismo instante, el Sol no se encontraba en el cenit de la ciudad de Alejandría.
 













Esta diferencia solo podía ser explicada si la Tierra no era plana, y asumiendo que Siena y Alejandría se encuentran en el mismo meridiano, es decir tienen la misma longitud geográfica (lo cual no es del todo cierto, puesdistan unos 3º), Eratóstenes realizó una hipótesis genial: considerar que el Sol está lo suficientemente lejos como para que sus rayos lleguen a la Tierra completamente paralelos.

Bajo esta hipótesis, al mediodía del solsticio de verano, los rayos de Sol inciden directamente en Siena, pero hacen un ángulo con la vertical en Alejandría. Es fácil ver que, asumiendo que "líneas que cortan rectasparalelas forman ángulos opuestos iguales" (algo no evidente en la época de Eratóstenes), este ángulo es igual a la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría. 
 
 



Eratóstenes dedujo que si lograba medir este ángulo, y por otro lado determinaba la distancia lineal entre Siena y Alejandría, podría estimar el radio de la Tierra. Bastaba con aplicar la ley de  "arcos decírculo relativos a ángulos iguales son semejantes":
 




Según el historiador Cleomedes, para el cálculo del ángulo, Eratóstenes midió la sombra que el Sol proyectaba al mediodía del solsticio de verano, sobre un scaphium o gnomon.  Otros historiadores defienden que midió la sombra de una torre. En cualquier caso, el ángulo viene dado  por la expresión:


 

Sea como fuere, Eratóstenesobtuvo una medida para la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría de 1/50 parte de la circunferencia, es decir, unos 7º 12'.

Pero, para completar el cálculo necesitaba medir de la distancia lineal entre Siena y Alejandría, algo complicado en una época donde no había GPS. El método empleado depende de la fuente. En la mayoría de los casos se asegura que lo obtuvo de la distanciaestimada por las caravanas de camellos que comerciaban entre ambas ciudades, aunque perfectamente pudo ser un dato que obtuvo de la propia biblioteca de Alejandría. En cualquier caso, estimó una distancia de 5000 “estadios”.

¿Y que es un “estadio”?. Pues una medida de longitud de la época, que como era habitual, su valor depende de quien lo definiera. Por ejemplo, los estadios egipcios eran de...