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Desigualdades lineales y cuadráticas y sus propiedades
Es sorprendente la cantidad de propiedades que se pueden desprender de los primeros seis axiomas, sin embargo el álgebra de los números reales no queda reducida a dichos axiomas; éstos se complementan con un orden que nos permitirá, además de tener una estructura más completa, poder hacer analogías y aplicaciones más complejas que las quese podrían tener con los axiomas de campo. Por ejemplo, se podrá construir un modelo para el movimiento, o también obtener el área y volumen de figuras geométricas no simples, análisis de variables que cambian continuamente con respecto al tiempo y muchas otras aplicaciones físicas.
La idea medular del orden en los números reales es que se pueden dividir los números en tres conjuntos, positivos,negativos y cero. Y que es posible establecer un orden total en los números reales. Estas ideas se pueden resumir en tres propiedades.
Axiomas de orden:
El conjunto de los números reales tiene un subconjunto, llamado conjunto de números reales positivos R+ el cual satisface los siguientes axiomas.

Axioma 1.7 a, b en R+ => a+b, ab en R+

Axioma 1.8 Si a está en R y a ≠ 0 entonces unade las dos condiciones de cumple a ∈ R+ o -a ∈ R+.

Axioma 1.9 El número 0 no está en R+

Si un número no es positivo ni 0 se dice que es negativo, o sea que un número a es negativo si -a es positivo por el axioma 2.8.
Existe otra forma muy popular en nuestros días de presentar el orden en los números reales por medio de desigualdades directamente sin hacer mención a los axiomas, se toma a< b como una relación entre dos números que satisface cuatro propiedades. Una de las ventajas de presentar el tema como se hace aquí es que bastan tres propiedades en lugar de cuatro, además cuando se usan desigualdades queda la relación < sin definir, incluso hay libros que lo definen en términos de números positivos así que se cae en una inconsistencia o en la necesidad de definirconjunto de números positivos. Por lo tanto por razones heurísticas es mejor considerar las propiedades de orden de esta manera.
Definición Desigualdad.
Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a < b si b?·a es positivo. Similarmente, decimos que a “es mayor que b” y se representa a > b cuando b < a. La relación a < b significa que a < b ó a = b; y a> b significa que a > b ó a = b.
Vemos por lo tanto que un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es menor que 0.
Nota Los axiomas se llaman de orden porque si consideramos la relación menor o igual en base a la definición anterior se obtiene una relación que cumple las condiciones de relación de orden. Incluso es un orden total.
De manera análoga como sevio después de los primeros seis axiomas, de aquí se pueden desprender todas las propiedades de desigualdades y de orden de los números reales. Resumimos las principales en el siguiente teorema.

Teorema Propiedades básicas de desigualdades.
Si a, b y c son números reales entonces:

i) Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a < b, a > b, a = bii) Propiedad aditiva: a < b => a + c < b + c
iii) Primera propiedad multiplicativa: a < b, c > 0 ⇒ ac < bc
iv) Segunda propiedad multiplicativa: a < b, c < 0 ⇒ ac > bc
v) a ≠ 0 ⇒ a2 > 0
vi) 1 > 0
vii) a < b ⇒ -b > -a
viii) a < 0 ⇒ -a > 0
ix) ab > 0 ⇒ ambos son positivos ó ambos son negativos
x) ab < 0 ⇒ un número es positivo y elotro negativo
xi) a > 0 ⇒ 1/a >0
xii) a < b, c < d ⇒ => a+c < b+d
Como ejemplo demostraremos la propiedad (ii) del teorema y las demás se dejan como ejercicio.

Ejemplo Demuestre la propiedad (ii) del teorema

Demostración:

a < b => b-a > 0 por definición de <

Pero

b-a = b-a + 0 axioma 5

= b-a + c+ (-c) axioma 6

= b+ (-a)...