Complejos 1



UNIVERSIDAD NACIONAL DE FRONTERA - SULLANA



GUIA TEORICA DE NUMEROS COMPLEJOS
Unidad Imaginaria:
A la expresión la definiremos como la Unidad Imaginaria y la denotaremos como “ i ” . O sea que i será aquella cantidad que elevada al cuadrado resulta 1:

Por lo anterior toda raíz cuadrada de un número negativo puede ser expresada así:
Ej 1)
Ej 2)
Ej 3) ,o bien (racionalizando):

Ahora tendría cierto sentido resolver ecuaciones como:
Ej 1) Resolver
Resolución: 
Por lo tanto se tendría dos soluciones:

Ej 2) Resolver x2  5x + 8=0.
Resolución: 
Por lo tanto se tendría dos soluciones:




Definición:
A toda expresión en la forma “ a + b.i ”, donde “a” y “b” son números reales e “i” es la unidad imaginaria la llamaremosNÚMERO COMPLEJO.
Notas:
a) Al conjunto de todos los números complejos (o imaginarios como comúnmente se les conoce), los denotaremos con la letra

b) A cada número complejo lo denotaremos con la letra “z”, así:
z = a + b i, o bien z = b i + a, con a y b.

c) Si z = a + b i entonces llamaremos PARTE REAL al valor “a” y se denotará como Re(z)=a. Y llamaremos PARTEIMAGINARIA al valor “b”, denotado como Im(z)=b.

d) Si Re(z)=0 se dice que z es un número IMAGINARIO PURO.
Si Im(z)=0 se dice que z es un número REAL.










Los Números Complejos se pueden expresar de varias formas:


FORMA BINOMICA: Es la manera como se han presentado hasta ahora:
Ejemplos: Z1 = 2 + 3 i; Z2 = (1/3) – i; Z3 = – (1/2) i + 9; Z4 = 2; Z5 =10 i

FORMA CANONICA O DE PAR ORDENADO: Se colocan, entre paréntesis y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del complejo en cuestión.
Ejemplos: Z1 = (2, 3); Z2 = (1/3, – 1); Z3 = (9, – 1/2); Z4 = (2, 0); Z5 = (0, 10)

FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR (Será explicada más adelante)

NOTE EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES QUE Z4 ES REAL Y QUE Z5 ESIMAGINARIO PURO
Definición: (Igualdad de Complejos)
Dos números complejos Z1 y Z2 son iguales siempre que Re(z1) = Re(z2) y Im(z1) = Im(z2)

Definición: (El Plano Complejo)
El plano complejo es un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se representará la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadasse representará la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO).
Notas:
En el plano complejo los números imaginarios pueden ser representados como puntos o como vectores:

















OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Suma Algebraica:
Para sumar algebraicamente dos números complejos basta con operar entre si y por separado sus partes reales y sus partes imaginarias (análogamente a la sumaalgebraica de vectores).
Ejemplo:
Dados Z1= – 3 + 5i; Z2= 4i; Z3= –i –2; Z4= (–3, 0) y Z5= halla el resultado de:
Z = Z1 – Z2 – Z3 + Z4 – Z5=?

Resolución:

  (resultado)


Potencias de la Unidad Imaginaria:
Veamos algunas de ellas:













Como se observa, existe una secuencia donde cada cuatro veces se repiten los mismos resultados. Entonces para calcular el valor de porejemplo i34527 procederemos a dividir 34527 entre 4, esto nos dará cuantos grupos de 4 se forman (lo cual no nos importa mucho), y cuanto será el “sobrante” que oscilará entre 0 y 3 (lo cual es lo que nos importa).
Si nos sobra 0 entonces: i34527 será igual a i0 y por tanto igual a 1.
Si nos sobra 1 entonces: i34527 será igual a i1 y por tanto igual a i.
Si nos sobran 2entonces: i34527 será igual a i2 y por tanto igual a –1.
Si nos sobran 3 entonces: i34527 será igual a i3 y por tanto igual a –i.
Veamos entonces:
Ejemplo: Halla el valor de “z”, donde





Por lo tanto:


  (Valor de Z)

Multiplicación de Complejos:
Básicamente el producto de complejos se realiza mediante la regla ordinaria del producto de dos binomios,...