complejos

Números complejos
1.

Introducción

Podemos pensar en las progresivas ampliaciones de los conjuntos numéricos como el
método necesario para resolver ecuaciones algebraicas progresivamente complicadas. Así,
el paso de N a Z se justificaría por la necesidad de dar solución a una ecuación como
x + 5 = 0,
y el paso de Z a Q por la necesidad de dar solución a ecuaciones de la forma
5x = 1.El paso de Q a R es más complicado de explicar en este momento, puesto que es más
topológico que algebraico, pero permite además dar solución a ecuaciones como
x2 − 2 = 0.
El paso de R a C viene motivado históricamente por la necesidad de trabajar con las
soluciones de ecuaciones como
x2 + 1 = 0,
es decir, con raíces cuadradas de números negativos. Inicialmente, se trabajaba con dichasraíces, llamadas números imaginarios por Descartes, como paso intermedio hasta llegar a
un número real (típicamente elevando el número imaginario al cuadrado en algún momento
de los razonamientos). Posteriormente, en los siglos XVIII y XIX, se formaliza la noción
de número complejo, lo que convierte a estas entidades algebraicas en “miembros de pleno
derecho” de las familias numéricas.
2.Definición

La manera más sencilla de trabajar con los números complejos es dar un nombre
√
abreviado a −1. A esta cantidad la llamaremos i. Hecho eso, y suponiendo inicialmente
que esta cantidad “se portará bien”, ya podemos realizar cálculos como
√
√ √
−25 = (−1)(25) = −1 25 = 5i.
Necesitaríamos poder sumar y multiplicar estos nuevos números. Está claro que si
b, c ∈ R, se debiera tener
bi +ci = (b + c)i.
Por otro lado, para a, b ∈ R no podremos simplificar la expresión a + bi.

Veamos el producto. En primer lugar está claro que si hemos definido i como
entonces
i2 = −1.

√

−1,

Por otro lado, si vamos a tener un producto asociativo, conmutativo y distributivo
respecto de la suma, se deberá tener
(a + bi)(c + di) = ac + bdi2 + adi + bci = ac − bd + (ad + bc)i.
Con esto yasabríamos sumar y multiplicar complejos.
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3.

Formalización

Como siempre en matemáticas, estas ideas intuitivas se pueden (y se deben) formalizar.
Una de las formalizaciones más habituales es pensar en los complejos como pares (a, b) ∈
R × R con una suma y un producto definidos por
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Es un ejercicio sencillocomprobar que la suma es conmutativa, asociativa, que existe
un elemento neutro (el (0, 0)) y que todo elemento tiene simétrico. Igualmente fácil es
comprobar que el producto es conmutativo, asociativo, que existe un elemento neutro (el
(1, 0)) y que todo elemento distinto de (0, 0) tiene inverso. También es fácil comprobar
que el producto es distributivo respecto de la suma. Decimos entonces quelos números
complejos tienen estructura de cuerpo conmutativo, noción que ya conoceréis más adelante.
Es obvio que esta formalización (cuya notación apenas utilizaremos) coincide con la
noción intuitiva descrita en la sección anterior, sin más que identificar
(a, b) ≡ a + bi.
A cualquiera de estas dos notaciones se las conoce como forma binómica del número
complejo.
Llamaremos C al conjuntode los números complejos con la suma y producto definidos.
Es muy fácil darse cuenta de que podemos identificar de manera natural un elemento
a de R con el complejo a + 0i = (a, 0). De esta forma podemos considerar R como un
subconjunto de C.
Análogamente, tendríamos un conjunto destacado de números complejos formado por
aquellos de la forma bi = 0 + bi = (0, b). A estos números se lesdenomina a menudo
imaginarios puros.
Dado un complejo z = a + bi nos referiremos a a como su parte real y a b como su
parte imaginaria
a = ℜz,
b = ℑz.

4.

Interpretación geométrica

Puesto que podemos ver un número complejo como un par (a, b) ∈ R × R, es natural
interpretarlo como un punto del plano. Llamaremos plano complejo al plano R×R cuando
pensamos en él como formado por números...