Computacion

METODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
Dada la función tabular definida por la tabla anterior se trata de obtener los valores de los coeficientes de la función:
Y=F(x)=ao+a1X+a2X2+a3X3+ amxn-1........(1)
Cuya gráfica es una curva que se acerca a la mayoría de los puntos (curva de trazos de la figura anterior).
Se llama residuos a la diferencia de ordenadas de la curva para x=xi menos la del puntoxi, yi representado por Ri a este residuo, se tiene Ri=f(xi)-yi..t2),es decir:
Ri= a0+a1X+a2X2+a3X3+.....amxn-yi ........ (3) ,donde i=1 ,2,3,..n.
El método de los mínimos cuadrados consiste en determinar los valores de los parámetros a0,a1 ,a2,a3,.....am; de manera que haga mínima la suma de Ios cuadrados de los residuos.Esta suma vale Re=( o+Xj+Xi+Xi+... +mXi-Yi)...... (4)
Se tiene el mínimode esta igualdad a cero sus primeras derivadas parciales con .
respecto a todo y cada uno de sus parámetros .Derivando con respecto a ai, donde
j=0,1,2,3,...m; se obtiene :
Ri= (a0+a1X+ a2X2+a3X3+.....amxn-yi )2............ (4)
Ri = 2(a0+a1X+ a2X2+a3X3+.....amxn-yi ) Xi
igualando con cero esta derivada a:
a0+a1Xj+1+ a2Xj+2+a3Xj+3+.....amxyi+m ............ (5)
Finalmente, considerandoj=0,1,.2,3,....,m; se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones normales.
na0+a1X+a2X2+a3X3+.....+amxm = y
a0x+a1X2+a2X3+a3X4+.....+amxm = xy
a0X2+a1X3+a2X4+a3X5+.....+amxm = x2y
a0X3+a1X4+a2X5+a3X6+.....+amxm = x3y
a0Xm+ a1Xm+1+a2Xm+2+ a3Xm+3 +..…+amxm = xmy.......... (6)
en donde, por simplicidad se ha omitido los índices de X y Y, y los limites de las sumatorias , pero debe de entenderse queestas son sobre todo los valores de X y Y dados la tabla inicial.
Problema 1.-Encontrar la mejor recta que se ajuste a Ias puntos de la siguiente tabla:
X 0 1 2 3 4 5 6 7
Y 2 4 3 6 5 7 9 8
Y=F(X)=ao+a1X
nao+a1X=Y
aoy+a1X2 = XY
8ao+28 a1 =44
28ao+140a1=193
método de gauss -jordan
8 28 44 1 3.5 5.5 1 0 2.249
28 140 193 0 42 34 0 1 0.929
R1 - R1/8 R2 - R2/42
R2 - R2(-28)R1 R1 -(-35)R2+R1
ao= 2.249
a1= 0.929 ,por lo tanto Y=F(x)= 2.249+.929X
SUMA 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 25
Y 2 4 3 6 5 7 9 8 44
X2 0 1 4 9 16 25 36 49 140
Y2 0 4 6 18 20 35 54 56 193
Por regla de cramer se tiene que:
Y=F(X)= 2.250+ .929X
Sustituyendo se tiene que para :
X=0
Y=F(X)= 2.250+ .929(0)=2.250
X=1
Y=F(X)= 2.250+ .929(1)=3.179
X=2
Y=F(X)= 2.250+ .929(2)=4.108
X=3
Y=F(X)= 2.250+ .929(3)=5.037X=4
Y=F(X)= 2.250+ .929(4)=5.966
X=5
Y=F(X)= 2.250+ .929(5)=6.895
X=6
Y=F(X)= 2.250+ .929(6)=7.824
X=7
Y=F(X)= 2.250+ .929(7)=8.753
Problema 2.- Número de graduados en una escuela durante un periodo de 5 años es el siguiente:
Año: 1 2 3 4 5
Numero: 260 400 420 490 650
a) Encontrar las ecuaciones algebraicas de primero, segundo y tercer grado que mejor se ajusten a los datos.
b) Si:pc2/cn-m-1)
Es una medida del grado de aproximación ¿cual de las tres ecuaciones se aproxima mas a los datos?
c) Grafique los puntos y las curvas de las tres aproximaciones obtenidas en a).

a) Para el primer grado se tiene la forma general siguiente:
y = f (x) = a0 a1x
*la cual genera el siguiente sistema de ecuaciones.
na0 + a1 x = y
a0 x + a1 x2 =xy
b) Para el segundo grado setiene:
y=f (x) = a0 + a1x+ a2x2
*la cual genera el siguiente sistema de ecuaciones:
na0 + a1 x+ a2x2= y
a0 x + a1 x2+ a2x3= y
a0 x2 + a1 x3+ a2x4= x2y
C) Para el tercer grado se tiene lo siguiente:
f=(x)= a0 +a1x + a2 x2+a3x3
* y su sistema de ecuaciones será:
na0 + a1 x+ a2x2 a3x3 = y
a0 x + a1 x2+ a2x3 a3x4 = xy
a0 x2 + a1 x3+ a2x4 +a3x5 = x2y
a0 x3 + a1 x4+a2x5 +a3x6 = x3y
Lo cual genera la función tabular ampliada siguiente:
X y x2 x3 x4 x5 x6 xy x2y x3y
1 260 1 1 1 1 1 260 260 260
2 400 4 8 16 32 64 800 1600 3200
3 420 9 27 81 243 729 1260 3780 11340
4 490 16 64 256 1024 1960 1960 7840 31360
5 650 25 125 625 3125 15625 3250 16250 81250
15 2,220 55 225 979 4425 20515 7530 29730 127410
Sustituyendo los valores de la tabla en el sistema...