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C A P I T U L O IV HERRAMIENTAS FRECUENCIALES PARA SEÑALES CONTINUAS

4.1.-SERIES DE FOURIER PARA SEÑALES CONTINUAS: 4.1.1.- Introducción: El problema que llevó a Jean Baptista Fourier al descubrimiento de las series fue la conducción de calor en barras metálicas. Esto pertenece a la clase de problemas con valores de frontera, llamadas así porque la función matemática que representa lasolución no solo debe satisfacer las condiciones de equilibrio dentro del medio sino que debe ser capaz de asumir condiciones de borde arbitrarias. Otros ejemplos serían los problemas sobre líneas de transmisión o el de la cuerda de violín prensada. La teoría de las series de Fourier es importante en síntesis y análisis de redes porque proporciona el medio para aproximar una función arbitrariasobre un intervalo de tiempo dado, con la suma de sinusoides. La propiedad de linealidad que presentan algunas redes nos permitirá además utilizar el principio de superposición y por tanto podemos aplicar análisis de circuitos en regimen sinusoidal permanente sobre funciones arbitrarias lo que, obviamente, simplifica el trabajo. La idea fundamental es la siguiente: Se tiene una señal arbitrariax(t) y se quiere representar x(t) como:

¿Como lo hacemos? 4.1.2.- Representación generalizada de una función en serie de Fourier. Suponga que queremos expresar una señal f(t) en función de otra señal g(t) en un intervalo (t1, t2 ) como:

f(t) = kg(t)
promedio del error en el intervalo (t1, t2) definido como:

t1< t < t2

El criterio para determinar el valor óptimo de k puede ser, porejemplo, minimizar el

Sin embargo esto no es óptimo ya que si existiesen errores grandes positivos y negativos se cancelarían, lo que arrojaría un pésimo valor de k. Un ejemplo de esto sería aproximar la función Sent con la función nula entre (0,2π) . Es obvio que, aunque< e> =0, la aproximación es mala
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aproximación es mala. Un mejor criterio es minimizar el promedio delcuadrado del error donde:

Para minimizarlo hacemos nula la derivada de la función respecto a k:

resultando de esta forma el k óptimo igual a:

Este valor nos proporciona la mejor aproximación de f(t) a través de g(t).Si por alguna razón:

Se dice que f(t) no tiene componentes de g(t), o que f(t) y g(t) son ortogonales. Por ejemplo: Sen nωo t y Sen mωot (n distinto de m) son ortogonales encualquier intervalo (to ,to + 2π/ωo). También son ortogonales en el mismo intervalo las funciones Sen nωo t y Cos mωot para todo n,m. OJO: En general dos funciones son ortogonales en un intervalo T cualquiera si se cumple alguna de las tres condiciones siguientes: a) No coinciden en tiempo b) No coinciden en frecuencia c) Tienen simetria opuesta Si en vez de aproximar f(t) con una sola función g(t)se desea utilizar un grupo de funciones gk (t),

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Se puede utilizar el criterio de minimizar < e2 > con el fin de calcular los Ck . Sin embargo el cálculo se hace muy complejo excepto si las funciones gk son ortogonales entre sí en el intervalo de aproximación, en cuyo caso, (incluyendo la posibilidad de funciones complejas):

Si n tiende a infinito el error cuadráticomedio tiende a cero. En este caso decimos que no estamos aproximando sino representando la función con una sumatoria infinita de funciones ortogonales entre sí. Para esto necesitamos un conjunto completo de funciones ortogonales , es decir que no falte ninguna gx tal que:

y en ese caso tendremos que los coeficientes Ci se calcularán como:

La representación de f(t) mediante un conjunto infinitode funciones ortogonales se conoce como representación generalizada de f(t) en serie de Fourier. Esta es la base para el desarrollo de las series de Fourier de donde se escogen entre las múltiples familias de funciones ortogonales aquella constituída por elementos (Sen nωot , Cos mωot) por ser la que mejor se adapta a nuestros problemas. 4.1.3.- Serie Trigonométrica de Fourier Utiliza para la...