Concepto De Derivada

CONCEPTO DE DERIVADA BLOQUE 3

Incremento
Si a la variable independiente x con un valor inicial a, se le da un valor final b, a la diferencia b - a se le llama incremento de la variable x; esto se expresa usando la letra griega llamada delta (A) que se antepone a la variable:

X A x = b – a

Si se registra un aumento de valor ei incremento es positivo.

‘Ejemplo:
//
Obtener el valordel incremento de la variable x, con valor inicial 3 = 4, valor final
b = 9.

Resolución:

Ax = 9 - (4) = 9 - 4 = 5

Si hay disminución de valor el incremento es negativo.

Ejemplo:
Obtener el valor del incremento de la variable x, con valor inicial a = 3, valor final
b = 0.

Resolución:

Ax = 0 - (3) = -3 Si no hay diferencia el incremento es nulo.

Ejemplo:

Ax = 4 - (4) = 4- 4 = 0

2 .incremento de una funcion

Si y está en función de x, tenemos:

y = fW

Cuando x recibe un incremento Ax, corresponde a la función un incremento A y. Gráficamente se expresa así:

Sea el punto B(x, y) de una curva cuya ecuación es de la forma y f{x)z

los incrementos de x y de y son:
Ax = AC ; = BC

3. PENDIENTE DE UNA LÍNEA RECTA

En geometría analítica estudiamos loreferente a la pendiente m de una línea recta, y concluimos que:

La pendiente de toda recta paralela al eje x es cero.
La pendiente de una recta que forma un ángulo 0 entre 0o < 6 < 90° es positiva. üna recta paralela al eje y no tiene pendiente.
Si la recta forma un ángulo 6 entre 90° < 6 < 180° la pendiente es negativa.
En la representación siguiente, los ángulos a y 6 soniguales por ser correspondientes; la pendiente m es:

m = tan 8 = tan a = BC
AC

Si introducimos el concepto de incremento que vimos antes queda:

m = tan 8 = tan a = BC = AY
AC AX

4. PENDIENTE DE UNA CURVA. INTERPRETACION GEOMETRICA

si a y b s0n los puntos de una curva, la pendiente m de la recta ab que correspondeal angulo es:

M=TAN ∞= BCAC= AYAX

Debemos observar que cuando el punto B se mueve sobre la curva hacia A, la recta AL gira sobre A hasta coincidir con la recta AS; esta recta AS es tangente a la curva en A.

A medida que B se aproxima a A, el Ax tiende a cero, y la pendiente de AB llegará a sei la misma de AS.

En consecuencia tenemos que:
m = tan 0 = tan 0 = AYAx—>0 Ax

Como los ángulos ay 0 son iguales, entonces:
m = tan & = tan 9 =AY
Ax-»0 Ax

5. DERIVADA
fe?;
Si en la función y = f(x), la razón AY tiene un límite cuando Ax 0 a eeste limite se le llama
Ax
derivada de y con respecto a x.

6. concepto de la derivada

La derivada de una función conrespecto a una variable es el límite, del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.

see expresa así:

Derivada = lím — AY
A*->0 ^ AX
Cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene derivada.
\
El valor de la derivada en cualquier punto de una curva, es igual ala pendiente de la tangente a la curva en ese punto.

7. NOTACION DE LA DERIVADA

La derivada se expresa en cualquiera de las formas siguientes:
Df(x) Cauchy.
f'(x) Lagrange.
Y´ Lagrange.
dy Leibnitz: se lee “derivada He y cen respecto a x".
dx

de donde D/(x) = f'(x) = y'; dy — = lím AYdx At_>0 Ax

Debemos acostumbrarnos a usar todas las notaciones para que se nos facilite la lectura de diferentes textos, y porque cada una posee un uso cómodo, según el caso.

8. REGLA GENERAL DE LA DERIVACION

El proceso para obtener la derivada de una función f(x), incluye:

I. Dar un incremento a x.
II. Expresar el incremento correspondiente de y.
III....