Conceptos Basicos

521230

521230

521230

n

1
2

´
DIM – Universidad de Concepcion

x
1

x
:=

∞

:=
i=1

|xi |2

n

|xi |.

1≤i≤n

:= max |xi |.

2

i=1

x
.

´
DIM – Universidad de Concepcion

max

x∈Rn : x=0

A ∈ Rn×n .

x
B

Ax ≤ A
AB ≤ A

-5-

las siguientes propiedades:

∀A, B ∈ R

n×n

(compatibilidad),

´
DIM – Universidad de Concepcion

(submultiplicatividad).

∀A ∈ Rn×n , ∀x ∈ Rn

´ Toda norma matricialinducida por una norma vectorial satisface
• Proposicion.

vectorial y se denota con el mismo s´ımbolo que la norma vectorial.

Esta norma se dice que es una norma matricial inducida por la norma

´ verificar que esto define efectivamente una norma sobre Rn×n .
Es facil

A :=

Ax
,
x

• Toda norma vectorial · sobre Rn induce una norma matricial sobre Rn×n
(espacio de matrices cuadradas n × n):Normas matriciales inducidas.

-3-

´ muchas veces escribiremos un vector columna
• Por comodidad de notacion,
como x = (x1 · · · xn )t ∈ Rn .

– Norma uno:

– Norma infinito:

– Norma euclideana:

n
• Ejemplos. Dados
 V =R (espacio de vectores columna de n componentes
x1


 . 
reales) y x =  ..  ∈ Rn , se definen las siguientes normas:


xn

Normas vectoriales (cont.)

-1-

521230521230

521230

v+w ≤ v + w

4.

´ de errores.
• Errores: Errores computacionales. Propagacion

v

(desigualdad triangular).

´
DIM – Universidad de Concepcion

v, w ∈ V.

∗y

·

∗

≤ v

•

≤ C2 v

∗

∀v ∈ V.

∗y

·

→0
-4-

∗

⇐⇒

•

´
DIM – Universidad de Concepcion

→ 0.

–

–

–

A

A

A

2

1



1≤i≤n

=

1≤i≤n

-6-

ρ At A (norma espectral).

1≤j≤n



´
|aij | (maxima
suma de filas).

´
DIM –Universidad de Concepcion

´
|aij | (maxima
suma de columnas).

1≤j≤n

= max 

= (aij ) ∈ Rn×n . Entonces:


= max 

∞

´ Sea A
Proposicion.

usuales.

´ sencillas de calcular algunas de las normas matriciales mas
´
• Hay formas mas

vn − v

• son dos normas cualesquiera en un espacio de

Normas matriciales (cont.)

vn − v

´ finita, entonces
dimension

• Corolario. Si ·

equivalentes.

´finita son
• Teorema. Todas las normas sobre un espacio de dimension

C1 v

V son equivalentes si

v n − v → 0.
• sobre un espacio vectorial

⇐⇒

existen constantes C1 y C2 tales que

• Dos normas ·

vn → v

´ {v n }n∈N ⊂ V converge a v ∈ V si dist(v n , v) → 0:
• Una sucesion

dist(v, w) := v − w ,

• Toda norma sobre un espacio vectorial V induce una distancia:

Distancia entre vectores.Equivalencia de normas

-2-

• A un espacio vectorial V provisto de una norma · se le llama espacio
vectorial normado y se le denota (V, · ).

∀v, w ∈ V

(homogeneidad),

´
(no degeneracion),

∀v ∈ V, ∀k ∈ R

kv = |k| v

3.

−→

−→ R

(positividad),

v

· : V

v=0

∀v ∈ V
⇐⇒

v =0

v ≥0

2.

1.

que satisfaga:

´
funcion

´ Sea V un espacio vectorial. Se llama norma sobre V a cualquier
• Definicion.

•Normas: Normas vectoriales y matriciales. Productos interiores.

´ de Conceptos Basicos
´
Revision

˜ de un vector es mediante una norma.
• La manera usual de expresar el tamano

Normas vectoriales

521230

521230

521230

= ρ (A).

´
DIM – Universidad de Concepcion

2

k dígitos
mantisa

10

mantisa

x

l dígitos
exponente
(con signo)

´
DIM – Universidad de Concepcion

´
DIM – Universidad deConcepcion

−.999999 × 100

- 12 -

´
DIM – Universidad de Concepcion

>> d=2ˆ-1075
d =
0

- 13 -

>> c=2ˆ-1074
c =
4.940656458412465e-324

´
DIM – Universidad de Concepcion

• En MATLAB el m´ınimo numero
positivo representable es aproximadamente
´
10−323 :

f =

- 14 -

3.14159265358979

>> f=pi

>> e=123456789.0123456789
e =
1.234567890123457e+08

´
DIM – Universidad de Concepcion

• En MATLAB sealmacenan entre 15 y 16 d´ıgitos decimales de mantisa:

Por ello, al representar un numero
real en un sistema de punto flotante, en
´
˜ error de redondeo.
general se comete un pequeno

´ d´ıgitos de mantisa que la cantidad
• Si se intenta almacenar un numero
con mas
´
´
´ se almacenan los primeros k d´ıgitos.
maxima
k que permite el sistema, solo

Error de redondeo

>> b=2ˆ1024
b =
Inf

>> a=2ˆ1023...