Conceptos de incremento y razón de cambio la derivada de una función.

Instituto Tecnológico de Tepic


Integrantes: Preciado Muñoz Jesús Salvador
Heredia Alvarez Francisco Antonio

Trabajo unidad 4
1.- Conceptos de incremento y razón de cambio la derivada de una función.
2.- La interpretación geométrica de la derivada.
3.- Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.

Maestro: Hugo Ulises Ibarra

Materia: CalculoDiferencial

Horario: 5:00 – 6:00 de Lunes a Viernes

Grupo: 4A
1.- Conceptos de incremento y razón de cambio la derivada de una función.
La derivada de una función es un vector que apunta hacia la dirección donde la función ve un mayor incremento en su valor.

La tasa o razón de cambio puede ser constante o no. Una tasa de cambio constante es aquella que no cambia durante un período de tiempo.Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto “a” como:

Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:

En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:

Función derivada. Dada lafunción f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:

Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:



2.- La interpretación geométrica de la derivada.

* INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secantetiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)





Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la funciónf(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.


La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)

Ejemplos
Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.
Como lasdos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.





Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.







Determinar los valores del parámetro b, para quélas tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.
Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.
f'(1) = f'(2)
f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3
f'(1) = 3b2 + 2b + 3
f'(2) = 12b2 + 4b + 3
3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3
9b2 + 2b = 0
b = 0 b = −2/9


3.- Concepto de diferencial.Interpretación geométrica de las diferenciales.

En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente.
El diferencial queda definido por la expresión como si la derivada dy/dx representara el cociente entre la cantidad dy y la cantidad dx. Se puede tambiénexpresar como El significado preciso de estas expresiones depende del contexto en las cuales se las utilice y el nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matematicas rigurosas modernas, las cantidades dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar una significación geométrica particular si el diferencial es...