CONCEPTUALIZACION DE LA DUALIDAD - CASO 2

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CONCEPTUALIZACION DE LA DUALIDAD - CASO 2

Cierta dietista necesita preparar una comida que contenga determinados nutrientes, al menos en las cantidades que se indican en la siguiente tabla. Dispone de tres ingredientes cuyos costos y contenidos de cada nutriente (unidades por gramo de ingrediente) se dan en la misma tabla.

Nutriente
Ingredientes
Requerimientos u./comida.
1
2
3
A
4
32
20
B
5
6
3
30
C
1
2
1
10
D
2
1
2
5
E
2
3
1
10
Costo $/g
200
300
250
El problema a resolver consiste en definir la combinación de ingredientes que permite obtener, al mínimo costo, el alimento con el contenido nutricional deseado.

La solución puede obtenerse resolviendo el siguiente modelo, en el cual las variables Xi indican la cantidad (g.) del ingrediente i autilizar.

Minimizar Costo

Utilidad =

200X1

+ 300X2

250x3


Sujeto a

4X1

+3X2

+2X3
>

20

Nutriente A


5X1

+6X2

+3X3
>

30

Nutriente B


1X1

+2X2

+1x3
>

10

Nutriente C
2x1
+3x2
+1x3
>
5
Nutriente D
2x1
+3x2
+1x3
>
10
Nutriente E
con Xi > 0, i = 1,2,3.
Antes de conocer la solución óptima de este modelo, consideremosuna situación hipotética que puede presentársele a la dietista. Un laboratorio farmacéutico ofrece pastillas de cada uno de los nutrientes, con los cuales ella puede sustituir la comida que piensa preparar.

Para resolver este nuevo problema reflexionemos en el hecho de que el director del laboratorio desea obtener la máxima utilidad en la venta de las pastillas. Por ello, al evaluar lacotización del laboratorio, en comparación con el costo de preparar la comida, la dietista necesita conocer el máximo precio que puede pagar por una pastilla que contenga una unidad de cada nutriente.

La dietista también sabe que los precios que puede pagar tienen limitaciones provenientes de los costos y contenido vitamínico de los ingredientes, así por ejemplo:

Un gramo del alimento 1 cuesta $200 yaporta cuatro unidades del nutriente A, cinco del nutriente B, uno del C, dos del D y dos del E. Por lo tanto, por esas cantidades de los nutrientes puede pagarse en total un máximo de $200.

Similarmente, como un gramo del alimento 2 cuesta $300 y aporta tres unidades del nutriente A, seis del B, dos del C, uno del D y tres del E, lo máximo que podemos pagar conjuntamente por esas cantidades delos nutrientes es $300.

Si denotamos respectivamente con las variables YA, YB, YC, YD, YE, los precios máximos que se pueden pagar por la pastilla con una unidad de cada uno de los nutrientes, y efectuamos un análisis para todos los ingredientes, obtenemos el siguiente modelo de programación lineal.
Maximizar ventas

ZD =

20YA

+30YB

+10YC

+5YD +10YE

Sujeto a

4YA

+5YB+1YC
+2YD +2YE
<

20

Ingrediente 1


3YA

+6YB

+2YC
+1YD +3YE
<

30

Ingrediente 2


2YA

+3YB

+1YC
+2YD +1YE
<

10

Ingrediente 3
con YA,YB,YC,YD,YE > 0
Este segundo modelo representa el enfoque dual del primero y de nuevo podemos verificar que se presentan ciertas relaciones estructurales, a saber

El vector de coeficientes objetivo de uno esla transpuesta del vector de coeficientes
recurso del otro

El vector de coeficientes recurso del uno es la transpuesta del vector de coeficientes objetivo del otro.

La matriz de coeficientes tecnológicos de uno es la transpuesta de la matriz de
coeficientes tecnológicos del otro.

Ambos problemas están en formato canónico, o sea que tienen las siguientes
características

4.1 Elobjetivo del primal es minimizar, mientras que el del dual es maximizar.
4.2 Las restricciones del primo son del tipo =, y las del dual del tipo =.
4.3 Las variables de ambos problemas solo pueden tomar valores mayores o iguales
que cero.

Pero las relaciones de forma no son las más importantes para nuestro estudio de la dualidad en Programación lineal, como si lo son las relaciones lógicas...
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