Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Matemáticas IV
Explicación del tema – Actividad 5
http://docencia.udea.edu.co/Matematicas/4.5.html (abril 8 de 2006)
http://www.musicaperuana.com/arpa/ Abril 8 06
5.1 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
Ahora es el turno de hablar sobre rectas paralelas y perpendiculares. Si observas a tu alrededor, encontrarás muchísimos ejemplos de este tipo de rectas. La figura anteriores un arpa. Sus cuerdas son paralelas, al igual que las de la guitarra y otros instrumentos de cuerda.
Recuerda que en Geometría Analítica no se puede afirmar o negar alguna condición o propiedad de alguna recta o cónica sólo por cómo se ve en la gráfica. La vista engaña. La única manera de afirmar, negar o comprobar afirmaciones es por medio del álgebra.
Entonces, te preguntarás, ¿Qué debohacer para demostrar que dos rectas son paralelas o perpendiculares si no es analizando la gráfica y ver si parecen serlo? Bien, para resolver estas dudas, estudiarás las condiciones de la recta que garantizan si éstas son paralelas o si guardan entre sí un ángulo de 900.
En lenguaje matemático la condición para que dos rectas sean paralelas se expresa así:
“Dos rectas no verticales L1 y L2 sonparalelas si y sólo si, sus pendientes m1 y m2 son iguales.” 2121//mmLL=⇔
// Este símbolo significa “paralelas.”
⇔ Este símbolo significa “si y sólo si.”
Ejemplos resueltos.
1. Demuestra que las siguientes rectas son paralelas.
L1 : 0632=−+yx L2 : 064=+yx
Procedimiento: Para determinar la pendiente de ambas rectas, se escribe la ecuación en su forma pendiente-ordenada al origen: bmxy+=L1 : 2326230632+−=+−==−+xyxyyx
La pendiente de L1 es -2/3.
L2 : xxyxyyx326446064−=−=−==+
La pendiente de L2 es de -2/3.
Como las pendientes de ambas rectas son idénticas, entonces son paralelas. Recuerda que si tienen signo negativo, entonces el ángulo que forman con el eje X será mayor de 90º, o sea, que la recta está inclinada a la izquierda.
Para comprobar gráficamente que las rectasson paralelas, se obtienen los puntos de corte, o sea, abscisa y ordenada al origen para cada recta para trazar cada una de éstas con facilidad. La ventaja de escribir la ecuación en su forma pendiente-ordenada al origen, es que ya tenemos la ordenada, sólo falta calcular la abscisa:
2326230632+−=+−==−+xyxyyx
bmxy+=
b (ordenada al origen) para L1 vale 2. Las coordenadas serían (0,2)32606200632===−==−+xxyyx
Para L1, a, la abscisa al origen vale 3. Las coordenadas serían (3,0).
Para L2 :
xxyxyyx326446064−=−=−==+
bmxy+=
b (ordenada al origen) para L2 vale 0. Las coordenadas serían (0,0).
040040064=====+xxyyx
Para L2 , a, la abscisa al origen vale 0. Las coordenadas serían (0,0).
Solamente tenemos el punto (0, 0) para esta recta, por lo que se procede a obtener otropunto con un valor de X que sea útil en el trazo, en este caso se seleccionó -2:
3.13468860682064=====+−−==+yyyxyx
El punto (-2, 1.3) pertenece a la recta L2
ordenadasabscisas
Ahora con las coordenadas calculadas la gráfica queda así:
Otro procedimiento que se puede utilizar para calcular la pendiente de una recta teniendo expresada ésta en su forma general es:
Donde A es el coeficientede X, B es el coeficiente de Y. Sustituyendo los valores para la recta L1 sería A = 2; B = 3.
Para la recta L2: A = 4; B = 6
A
La desventaja de usar este método consiste en que tenemos que encontrar los interceptos para trazar la gráfica, porque no se tiene ninguno utilizando esta fórmula.
2. Encuentra la ecuación de la recta paralela a la recta 022=+−yx y que pasa por el punto (2, 3).Procedimiento: Se pide determinar la ecuación de una recta paralela a otra, por lo cual las dos tendrán la misma pendiente. Se calcula la pendiente de la ecuación de la recta que el problema proporciona. L1:
2222022+=−−=−=+−xyxyyx
bmxy+=
La pendiente es el coeficiente del término en X, por tanto, es igual a 2. Ahora para establecer la nueva ecuación de la recta, se utiliza el punto por donde...