Paralelismo, Perpendicularidad y Simetría

Colegio de bachilleres de Tabasco
Plantel 2
Francisco Javier Magaña Páez
3 roGrupo: K
Turno matutino
Materia: matemáticas 3

Paralelismo
¿Qué es el paralelismo en geometría y en geometría analítica?
En geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En el planocartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante.
¿Qué son las Rectas paralelas?
Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.
También se le denomina así a aquellos pares de líneas que nunca se unen o cruzan.
¿Qué Teoremas aplican con lasrectas paralelas?
En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las paralelas de esta (en un plano).
Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.

Perpendicularidad
¿Qué es la perpendicularidad en geometría y en trigonometría?
En matemáticas, la condición deperpendicularidad se da entre dos entes geométricos que se cortan formando un ángulo recto. La perpendicularidad es una propiedad fundamental estudiada en geometría y trigonometría, por ejemplo en los triángulos rectángulos, que poseen 2 segmentos «perpendiculares».
La noción de perpendicularidad se generaliza a la de ortogonalidad.

¿Con que se puede relacionar la perpendicularidad?
Larelación de perpendicularidad se puede dar entre:
Rectas: dos coplanarias son perpendiculares cuando al cortarse dividen al plano en cuatro regiones iguales. Cada una de los cuales es un ángulo recto, al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.
Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o noel mismo punto de origen.
Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.
Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.
Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los 4 elementos anteriores, tomados de dos en dos.
Si dos rectas al cortarseforman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares. Los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares.
¿Qué notación se debe usar?
Dado el conjunto R de las rectas en el plano, diremos que dos rectas a, b de R son perpendiculares y lonotaremos:

Siendo correcta la notación:

¿Qué enuncia el Postulado de unicidad?
En un plano, por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una y solo una recta perpendicular.
Ejemplo Para construir una perpendicular.
Para construir una perpendicular a la línea AB a través del punto P usando regla y compás, se procede como sigue:
Paso 1 (rojo): se dibuja un círculo con centro en Ppara crear los puntos A' y B' en la línea AB, los cuales son equidistantes a P.
Paso 2 (verde): se dibujan dos círculos centrados en A' y B', pasando los dos por P. Sea Q el otro punto de intersección de estos dos círculos.
Paso 3 (azul): se unen P y Q para obtener la recta perpendicular PQ.
Para probar que PQ es perpendicular a AB, se utiliza el criterio de congruencia LLL para los triángulosQPA' y QPB' para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego se usa el criterio LAL para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales.

Construcción de la perpendicular (azul) a la línea AB a través del punto P.
Propiedades
Las rectas a, b, c del plano P, cumplen las siguientes propiedades:
Relación irreflexiva: toda recta a del plano no es...