Conjuntos numericos

Tema I: Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.

Números reales R
Una de las propiedades más importantes de los números reales es poderlos representar por puntos de una línea recta. Se elige un punto llamado origen, para representar el 0, y otro punto, por común a la derecha, para representar el 1.
Resultaasí de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales, es decir, que cada punto de la recta representa a un único número real. Llamamos a esta recta la recta real. En la siguiente imagen se puede ver un ejemplo de recta real:

Números enteros Z
Los enteros son los números reales …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…
Se denotan por el símbolo Z y se pueden escribircomo Z={…,−2,−1,0,1,2,…}

Una propiedad importante de los números enteros es que son cerrados respecto a las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, es decir, la suma, la resta y la multiplicación de dos números enteros da otro número entero. Nótese que el cociente de dos enteros, por ejemplo 3 y 7, no necesariamente es un entero. Así, la operación división no es cerrada respecto a losnúmeros enteros.
Números racionales Q
Los números racionales son los reales que pueden ser expresados como razón de dos enteros. Se denota el conjunto de los números racionales por Q, así que
Q={pq | p,q∈Z}
Obsérvese que todo entero es un número racional, ya que, por ejemplo, 5=51; por tanto, Z es un subconjunto de Q.
Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operacionesde adición,multiplicación y sustracción, sino también de la división (excepto por el 0).
Números naturales N
Los números naturales son los enteros positivos. Se denota el conjunto de los números naturales por N; así que N={1,2,3,…}
Nótense las relaciones siguientes entre los anteriores sistemas de números:
N⊂Z⊂Q⊂R
Los números naturales son cerrados respecto a la adición y a la multiplicaciónsolamente. La diferencia y el cociente de dos números naturales no es necesariamente un número natural.
Los números primos son los naturales p, excluido el 1, que solo son divisibles por 1 y por el mismo número p. He aquí los primeros primos: 2,3,5,7,11,13,17,19,…
Números Irracionales I
Los números irracionales son los reales que no son racionales, es decir, los números reales que no pueden serexpresados por el cociente de dos números enteros. Obsérvese que el conjunto de números irracionales es el complemento del conjunto de números racionales. Así, pues, se tiene que
R=Q∪I
Algún ejemplo de números irracionales pueden ser 2√,π,5√3,etc.
Ley de composición
En álgebra abstracta, la ley de composición son dos tipos concretos de operación binaria que dan lugar a las distintas estructurasalgebraicas.
Empleando los signos para representar las leyes de composición internas:

y estos signos, para representar las leyes de composición externa:

para representar operaciones matemática sobre los conjuntos:

Los elementos de los conjuntos los indicaremos con letras minúsculas:

Podemos diferenciar ley de composición interna y externa.
Operaciones internas en N: La adición (suma) Y elproducto (multiplicación) Son operaciones internas en N

Propiedades conmutativas

De la suma: los sumandos se pueden sumar en cualquier orden y la suma siempre será la misma.

De la multiplicación: Si los factores se pueden multiplicar en cualquier orden y el producto será siempre el mismo

Propiedad asociativa

De la suma Si porque cuando se suman tres o más números reales, la sumasiempre es la misma independientemente de su agrupamiento
De la multiplicación Si porque cuando se multiplican tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupación

Propiedades de la identidad

De la suma Si porque el sumar cero a una cantidad no le añade a su valor. Todo número que se suma con cero se queda igual.

De la multiplicación si porque el...