Conjuntos numericos

LOS CONJUNTOS NUMERICOS, ALGUNA IDEA DE SUS PROPOSITOS Y ORIGEN
Desde que en el primario aprendimos los números naturales (), los que en principio aparecen por la necesidad de contar, desde entonces, en el colegio se insiste con enseñar a operar en los distintos conjuntos numéricos que se van aprendiendo, sucediéndose el uno al otro. Dicho esto podemos hacer las siguientes observaciones:
1)Con los números naturales se puede multiplicar y sumar bien (de hecho con decir sumar alcanza, puesto que multiplicar no es mas que sumar varias veces el mismo número), esto significa que siempre que sumemos o multipliquemos, se obtiene un resultado. En cambio no siempre se puede restar, ni mucho menos dividir. Pensemos en la resta, si intentamos resolver , no hay ningún numero natural q salga comoresultado, tampoco se obtiene resultado si intentamos con . El primer caso se soluciono “inventando” el cero, este número “sin valor”, luego el cero no es un numero natural y es en sí mismo un conjunto numérico, el cual se escribe así: , por tanto la primer resta queda así . Para la segunda resta se propuso la “invención” de los números naturales negativos, así es que . A estos, si los pensamos enla recta, son simétricos con los naturales positivos, y en medio de ellos está el cero.
En fin, estos tres conjuntos numéricos serán llamados todos juntos (la unión de ellos) por un solo nombre, el conjunto de los números enteros, es decir: . Ahora, en , la resta siempre tiene solución, es decir que la resta de enteros siempre halla un resultado entero.

2) Sin embargo, la división siguesin tener siempre una solución (cuando una cantidad se puede dividir exactamente). Es decir, las siguientes divisiones: 24:6, 12:4, 18:9, etc., todas estas tienen solución. Pero si pensamos en divisiones como 23:2, 24:5, 12:10, etc., vemos que estas no tienen solución, no en el campo de los enteros. La particularidad de las primeras es que el dividendo resulta siempre ser un múltiplo del divisor,pero en las segundas ocurre justamente lo contrario, no son múltiplos, es por eso que no tienen solución exacta estas divisiones. Para solucionar esto se decidió tomar estas divisiones de enteros (las que no se pueden resolver), como una nueva clase de números, los cuales se denominaron “números fraccionarios” y se los representa por la letra: . Y entonces, esta nueva clase de números combinadacon los números enteros han de recibir las dos juntas, un nombre, se llamaran el conjunto de los números racionales, representado por la letra: . Aparece entonces toda una nueva fraseología, e incluso una alternativa para la notación de la división. Se dirá que las divisiones de enteros que no tenían solución en ese campo, ahora la tienen en el campo de los números , y se escribirá así: , diciendoque esta división de enteros tiene como resultado el numero fraccionario veintitrés medios, ó lo que es lo mismo, la expresión decimal “once coma cinco”. Remito al lector a que refresque su memoria en todo lo referido a las fracciones y expresiones decimales, le será sumamente útil para el resto de sus estudios secundarios (y posteriores) en el área de matemáticas.
3) Bueno, hasta aquí, es deciren el conjunto de los números, se han salvado las cuatro operaciones básicas, es decir, todas encuentran solución en este conjunto. Pero si ahora pensamos en la operación radicación, encontramos que ciertas raíces de números positivos, que tienen solución positiva, no se halla en el conjunto de los números racionales. Para aclarar mas sobre estos números a los que aun no damos nombre pero quesabemos que existen, recordemos que todo numero racional se puede representar de dos manera diferentes, como fracciones o como números decimales (números con comas). Dicho de otra manera, toda fracción da lugar a un número decimal, y este se encuentra simplemente haciendo la división entre el numerador y el denominador de dicha fracción. Pero he aquí ahora una diferencia que nos permitirá presentar...