Conjuntos Ordenados

CONJUNTOS
ORDENADOS

Unidad 3

CONJUNTOS ORDENADOS

CONJUNTOS ORDENADOS
En la Unidad anterior estudiamos las relaciones de equivalencia. Nos centraremos aquí en las relaciones de orden,
que jerarquizan, según un atributo, a los elementos del conjunto donde está definida. Constituyen otro tipo de
relaciones binarias, fundamentales para las bases de datos relacionales que estudiarás enotras asignaturas, como
por ejemplo Gestión de Datos.
Como en unidades anteriores, presentaremos los conceptos que definen este tipo de relaciones y nos iremos
planteando preguntas que dan lugar a que vayamos desarrollando los temas vinculados con los conjuntos
ordenados.

Las Relaciones de Orden

Una relación R es de orden (orden amplio) si y sólo si es reflexiva, antisimétrica ytransitiva.
na relación
Una relación
Una relación R es de orden estricto si y sólo si es a-simétrica y transitiva.

Podríamos preguntarnos… ¿puede una relación de orden estricto ser reflexiva?...
Piensa que debe ser a-simétrica, entonces ¿es posible que sea al mismo tiempo reflexiva?
Si no puedes responder, te sugerimos revises las propiedades de las relaciones estudiadas en la unidad anterior.Cuando en un conjunto hay definida una relación de orden, diremos que dicho conjunto está ordenado.
Estudiaremos sólo las relaciones de orden amplio dado que dan lugar a las relaciones de orden estricto y las
retomaremos al incursionar en el concepto de red y Álgebra de Boole. Utilizaremos el símbolo
(se lee precede)
en lugar de llamar R a la relación.

e

Ejemplo
Sea A = {1,2,3 }.Consideremos P(A) con la relación inclusión.
Primero escribamos por extensión: P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A}
Cuando se sabe que una relación es de orden, se puede usar un diagrama simplificado que se llama Diagrama de
Hasse.
En este caso, el Diagrama de Hasse es el siguiente:

{1}

{1,2}

{2}

{1,3}

{3}

{2,3}

{1,2,3}

1

Unidad 3

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Comose muestra, sólo se dibujan las aristas directas entre elementos diferentes. Se suprimen los bucles (ya que se
sobreentiende que es reflexiva) y las aristas transitivas, que sí correspondería en caso de representar el dígrafo
completo.
Si también se quieren suprimir las flechitas, hay que dibujar las aristas desde abajo hacia arriba, pero esto no es
obligatorio.

Conjunto totalmente ordenadoSea (A; ) un conjunto ordenado.
ea (A;
un
ordenado.
Diremos que A está totalmente ordenado si y sólo si
que
sólo si

x, y

A:( x
:(

y

y

x)

Para tener en cuenta:
a) Totalmente ordenado lo abreviamos tto.
b) El diagrama de Hasse de un conjunto tto. es una cadena.
c) También se denomina Orden Total u Orden Lineal.
Cuando hay elementos que no cumplen con la definición detto. se dicen que son incomparables y se los indica con
el símbolo //.

e

Algunos ejemplos de elementos incomparables de P(A) son:

{1} // {2,3} pues {1} {2,3} {2,3} {1}
{2} // {3} pues {2} {3} {3} {2}

A partir de una o dos relaciones de orden, podemos encontrar o definir otras relaciones de orden que son el Orden
Recíproco y el Orden Usual del Producto

Orden Inverso o RecíprocoSea
Sea (A; ) un conjunto ordenado. Sea R : A
Sea
A/ xRy
La relación R no es más que la relación inversa o recíproca de .
La relación
que
recíproca de
-1
.
Se la llama Orden Recíproco y se la denota con
Recíproco
con

y

x

2

Unidad 3

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e

1. Si consideramos el conjunto ordenado (Z;

), el orden recíproco es: (Z;

)

2. Para el conjuntoordenado (P(A); ) que vimos anteriormente, el Orden Recíproco será: (P(A);
es decir en el orden recíproco, dos conjuntos se relacionan cuando el primero incluye al segundo.

),

Orden Usual del Producto

Sean (A;
Sean (A; 1) y (B; ) dos conjuntos ordenados. Sea AXB el producto cartesiano.
(B;
XB
Se define en AXB la siguiente relación: (x;y) R (z;t)
define en XB la siguiente
(x;y)
x 1z...