Conjuntos

FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTO
Por extensión
Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales menores que 9:

Por comprensión
Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos. Por ejemplo, el conjunto formado por las letrasvocales del abecedario:

Dos conjuntos son idénticos si, y sólo si, contienen los mismos elementos. Se puede obtener una descripción más detallada en la teoría de conjuntos.
Las aplicaciones de teoría de conjuntos son muy amplias, y baste con mencionar que se utiliza en el diseño de circuitos en electrónica digital; en cuestiones relacionadas con probabilidad; y sus conceptos están de maneraimplícita en la terminología utilizada en diseño de bases de datos, cuando se realizan las consultas
EJEMPLO:
En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles:solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas, etc.

PERTENENCIA DE CONJUNTOS
¿Qué es la relación de pertenencia?
Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, un elemento pertenece al conjunto, y se representa de esta forma.
Se introduce el conectivo ∈ con la expresión (relación de símbolos)

Símbolo básico ser o pertenecer: Reglas de uso:

Se representaun Elemento x que pertenece a un Conjunto A.

x∈ A
x : Elemento del Conjunto
∈ : Conectivo de Pertenencia o Ser
A : Conjunto
Obs 1: Nótese que los objetos que se conectan con el conectivo ser [∈] Son el elemento y el Conjunto. Esto
significa que estos conceptos se crean simultáneamente.

Una segunda forma de representar la pertenencia (sinónimo) es por la expresión:

A := {x, y, z,...}donde se presentan explícitamente los elementos del conjunto.

Obs 2: La notación A := { x1 x2 ... xn } no es general, solo vale para conjuntos numerables.

Obs 3: Otra notación A := { x: Prop(x) } puede emplearse solamente después de haber definido. Proposición en Lógica más adelante

Mediante un diagrama de Venn - Euler:
|   | |   | |
Cuando no tienen |   | Cuando tienen |   |Cuando todos los elementos de un |
elementos comunes |   | elementos comunes |   | conjunto pertenecen a otro |
SUBCONJUNTOS

Sean A y B dos conjuntos tal que todo elemento de A es también elemento de B, entonces decimos que:
|
|
|
|
* A es un subconjunto de B;

* B es un superconjunto de A;

Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo. Cualquier subconjunto de A queno sea igual a A se denomina propio (cuando puede ser igual a A se denomina impropio). Si A es un subconjunto propio de B, escribimos:

De manera análoga si B es un superconjunto propio de A, escribimos:

El conjunto vacío, denotado como:

es un subconjunto de cualquier conjunto. Además el conjunto vacío es siempre un subconjunto propio, excepto de sí mismo.

CONJUNTOS POTENCIA
Enmatemáticas, dado un conjunto S, el conjunto potencia o conjunto de partes de S, escrito P(S) o 2S, es el conjunto de todos los subconjuntos de S. En la teoría de conjuntos basada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto potencia se establece por el axioma del conjunto potencia.
Por ejemplo, si S= {a, b, c} entonces la lista completa de subconjuntos de S es como sigue:
1. { }(conjunto vacío);
2. {a};
3. {b};
4. {c};
5. {a, b};
6. {a, c};
7. {b, c};
8. {a, b, c};

y por lo tanto el conjunto potencia de S es
P(S) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Otro ejemplo más complejo es el siguiente: Sea A = { 2 , Ф }, Determinar P ( P(A) ), es decir, el conjunto potencia del conjunto potencia de A; Ф es el conjunto vacío:...