Conjuntos

Introducción a los conjuntos
Olvida todo lo que sabes sobre números. Olvídate de que sabes lo que es un número. Aquí es donde empiezan las matemáticas. En vez de matemáticas con números, vamos a hacer matemáticas con "cosas".

Definición
¿Qué es un conjunto? Bueno, por decirlo de una manera simple es una colección. Primero eliges una propiedad común a unas "cosas" (esto lo definiremos luego)y después reúnes las "cosas" que tienen esa propiedad.

Por ejemplo, la ropa que llevas: podrían ser zapatos, calcetines, sombrero, camisa, pantalones y otras cosas.

Seguro que a ti se te ocurrirían cien por lo menos.

Esto es un conjunto.

Otro ejemplo sería tipos de dedos.

Este conjunto tendría pulgar, índice, medio, corazón y meñique.


Así que son sólo cosas juntas quetienen una misma propiedad.

Notación
Hay una notación para conjuntos bastante simple. Los dos ejemplos de arriba son:

{calcetines, zapatos, relojes, faldas, ...}
{pulgar, índice, medio, corazón, meñique}

Fíjate que uno tiene "...". Esto sólo quiere decir que el conjunto sigue indefinidamente. A lo mejor no hay infinitas cosas distintas que ponerse, pero no estoy seguro de eso. Despuésde pensarlo durante una hora, todavía no estoy seguro. El primer conjunto es un conjunto infinito, el segundo es un conjunto finito.

Conjuntos de números
¿Qué tiene esto que ver con matemáticas? Cuando definimos un conjunto, todo lo que hace falta es una propiedad común. ¿Quién dice que no se puede hacer lo mismo con números?

Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
Conjuntode números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...}
Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9}
Y la lista sigue. Podemos inventar muchos conjuntos distintos.

También hay conjuntos de números que no cumplen una propiedad común, simplemente se definen así. Por ejemplo:

{2, 3, 6, 828, 3839, 8827}
{4, 5, 6, 10, 21}
{2, 949,48282, 42882959, 119484203}
Todos estos conjuntos los he escrito aporreando mi teclado sin mirar.

¿Por qué son importantes los conjuntos?
Los conjuntos son los ladrillos fundamentales de las matemáticas. Es verdad que los conjuntos, por sí solos, no parecen nada del otro mundo. Pero cuando los aplicas en distintas situaciones es cuando se convierten en los bloques con los que las matemáticasse construyen.

Las matemáticas se pueden complicar mucho rápidamente. Teoría de grafos, álgebra astracta, análises real, análisis complejo, álgebra lineal, teoría de números, y la lista sigue y sigue. Pero hay una cosa que todas estas partes de las matemáticas tienen en común: los conjuntos.

Las matemáticas se pueden complicar mucho rápidamente. Teoría de grafos, álgebra astracta, análisesreal, análisis complejo, álgebra lineal, teoría de números, y la lista sigue y sigue. Pero hay una cosa que todas estas partes de las matemáticas tienen en común: los conjuntos.

Conjunto universal
Al principio usamos la palabra "cosas" entre comillas. Esto se llama el conjunto universal. Es un conjunto que contiene todo. Bueno, No todo de verdad. Todo lo que tiene que ver con el problemaque tienes entre manos.
Hasta ahora, los conjuntos que te he dado contenían números enteros. Así que el conjunto universal aquí serían los enteros. De hecho, cuando uno hace Teoría de Números, casi siempre ese es el conjunto universal, porque la Teoría de Números es la parte de las matemáticas que estudia los enteros.
Sin embargo en Análisis Real, el conjunto universal es casi siempre losnúmeros reales. Y en Análisis Complejo, el conjunto universal es los números complejos.

Más notación
Cuando hablamos de conjuntos, es normal usar letras mayúsculas para llamar al conjunto, y letras minúsculas para los elementos de ese conjunto.

Así que por ejemplo A es un conjunto, y a es un elemento de A. Lo mismo con B y b, y con C y c.

No pasa nada si no sigues esa regla, puedes...