Conjuntos

CONJUNTOS
La noción de conjunto es usada como sinónimo de las nociones de colección, agrupación de objetos, etc. Los objetos de un conjunto se llaman miembros o elementos, sin embargo el término más usado es el de “elemento”.
Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A, entonces usamos la palabra elementos de A.
Pertenencia:
Lo necesario para dar un conjuntoes conocer sus elementos. Estas dos palabras: conjunto y elemento, están relacionadas por la pertenencia o no de un determinado objeto a un determinado conjunto.
Las palabras conjuntos y elementos son precisadas por las siguientes reglas:
a) Un conjunto X está bien definido cuando se dispone de un criterio para afirmar que cualquier objeto a, pertenece al conjunto X o si no pertenece alconjunto X. Si el objeto a pertenece al conjunto X se usa el símbolo de pertenencia “∈” escribiendo a∈X , el cual se lee “a pertenece a X” o “a es un elemento de X”. Si el objeto a no pertenece al conjunto X se utiliza el símbolo de no pertenencia “∉", así describimos a∉Xel cual se lee: “ a no pertenece a X” o “ a no es elemento de X”.
b) Un objeto no puede ser a la vez un conjunto y unelemento de ese conjunto, es decir, no es aceptado que pueda suceder a∈a.

Formas de Definir los conjuntos:
Los conjuntos pueden expresarse de las siguientes maneras:
Por Extensión: Cuando se nombran todos y cada uno de sus elementos.
Ejemplos:
A=a,e,i,o,u
B=1,2,3,4,5
C=-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5
D=-4,-2,0,2,4,6,8
E=Venezuela, Ecuador, Perú, Colombia, Bolivia
Por Comprensión: Cuando se indicauna propiedad que caracteriza a sus elementos.
Ejemplos:
A=Las vocales
B=x∈N∕0≤x≤5
C=x∈Z -3≤x<6
D=x∈R ∕-4≤x≤9 ∧x es 2
E=Países libertados por Simón Bolivar
Por Diagrama de Venn: Usando una poligonal cerrada.
Conjuntos Especiales
Universal: (U)
Los conjuntos pueden ser vinculados entre sí mediante relaciones, las cuales pueden generar otros conjuntos.Consideremos en primer lugar una relación entre conjuntos llamada Inclusión.

Unitario:
Es un conjunto formado por un solo elemento.
INCLUSIÓN:
Inclusión de un conjunto en otro: Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A está incluido en el conjunto B si se verifica que cada elemento de A pertenece a B. Esto se indica de la siguiente manera: A ⊂ B, que se lee A es un subconjunto de B
A⊂B⟺∀x∈A⟹x∈BA⊂B
Ejemplo:
Si A=0,3,4,1 y B=0,1,2,3,4, como cada elemento del conjunto A es elemento del conjunto B, entonces A⊂B. Como todos los elementos de A∈B se dice que A está estrictamente incluido en B.
El conjunto vacío,denotado por ∅ (conjunto que carece de elementos) también puede ser simbolizado de la siguiente manera es subconjunto de cualquier conjunto, es decir, ∀A, ∅⊂A y todo conjunto A es subconjunto de si mismo, esto es, ∀ A , A ⊆ A.
Si un conjunto A no es subconjunto de otro conjunto B, se indica de la siguiente manera: A ⊄B.
Por ejemplo C=-3,6,8,19 no es subconjunto de D=-3,6,8,10 puesto que 19∉D,lo que se expresa así: C⊄D.
Ejemplo de demostración de inclusión:
Sean A=x∈Z, x es múltiplo de 15 y B=x∈Z, x es múltiplo de 3
Veamos algunos elementos de cada conjunto:
A=…,-45,-30,-15,0,15,30,45….
B=…,-15,-12,-9,-6,-3,0,6,9,12,15,….
Definamos ahora con mayor rigor a los conjuntos A y B:
A=x∈Z, x=15.k con k∈Z
B=x∈Z, x=3.k'con k'∈Z
Hemos visto que A⊂B pero esto no alcanza sino que hayque demostrarlo.
x∈A⟹x=15.k con k ∈Z⟹x=3.5.kcon k ∈Z y con k'∈Z⟹x∈B∴A⊂B
Aclaración: 5.k=k', con k ∈Z ∧k'∈Z
Igualdad de Conjuntos:
Es claro que dos conjuntos son iguales si son idénticos, es decir si tienen los mismos elementos. O sea, todos los elementos de uno de los conjuntos están en el otro y viceversa.
Esto es en símbolos:
A=B⟺A⊂B ∧B⊂A
Ejemplo:
Sea U=R y los conjuntos:
A=x, x2=x...