Conjuntos

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago

Hoja de Trabajo “Conjuntos y Cuantificadores"
1. Considere los conjuntos: A = {(2n − 1)/ n ∈ N ∧ n primo} C = {4n + 3 / n primo} ¿Cuál es subconjunto de cuál? D = {x ∈ R / x2 − 8x + 15 = 0} B = {n ∈ N / n es primo}

2. Sea A = {∅, {1, 2}, {1}, {∅}, 1, {2}}

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sonverdaderas, y por qué? (a) 1 ∈ A (c) 2 ⊆ A (e) {2} ⊆ A (g) {1, 2} ⊆ A (i) {∅} ⊆ A (b) 2 ∈ A (d) {2} ∈ A (f ) 1 ∈ A ∧ {1} ∈ A (h) {{1, 2}} ⊆ A

3. Dados los conjuntos A = {a, b, c, d}; B = {a, b, e, f, g}; C = {b, c, e, h} y el universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Exprese cada uno de los siguientes conjuntos en términos de sus elementos: (a) A ∩ C (c) A − B (e) Ac ∪ B c (g) (A ∪ B) − B (i) B c − Ac (b)A ∪ C (d) Ac (f ) B c ∪ C (h) (B ∪ C c )c (j) (C − B) − A

4. Sean los conjuntos A = {m, e, x, i, c, o}, B = {e, s}, C = {p, a, d, r, i, s, i, m, o} a) Encuentre A ∪ B, A ∩ C, B ∩ C, B ∪ C b) Muestre que A ∩ B ∩ C = ∅ c) Muestre que A − (B ∪ C) es un conjunto sin vocales

d) Compruebe que B − C = A ∩ B

e) Compruebe que {m, a, x, i, m, o} ⊆ A ∪ B

5. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}, D = {3, 4, 5}, E = {3, 5}. Indicar, en cada caso, cuáles de estos conjuntos puede ser X, si X satisface una de las siguientes condiciones: (a) X y B son disjuntos (c) X ⊂ D y X ⊂ B 6. Sea (b) X ⊂ A y X ⊂ C (d) X ⊂ C y X ⊂ A

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 5, 7} y B = {2, 3, 4, 5}, obtenga: −(A ∪ B)c

a) Ac b) c) (A ∩ B)c

Leyes del álgebra deconjuntos
Leyes de idempotencia : A ∪ A = A A∩A = A Leyes asociativas : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) A∪B = B∪A A∩B = B∩A A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅ A∪ = , A∩ =A

Leyes conmutativas :

Leyes distributivas :

Leyes de identidad :

Leyes de complemento : A ∪ Ac = , A ∩ Ac = ∅ (Ac )c = A c = ∅, ∅ c = Leyes de Morgan7. Demuestre que: (A ∪ B)c = Ac ∩ B c (A ∩ B)c = Ac ∪ B c

(a) (A ∪ B c ) ∩ B = A ∩ B (c) (Ac ∪ B)c ∪ (Ac ∪ B c )c = A (e) B ∩ (A − B) = ∅

(b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) = A (d) [A ∪ (B ∩ Ac )] ∪ [Ac ∩ B c ∩ C] = A ∪ B ∪ C (f ) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)c = A ∪ B c

8. Demuestre usando algebra de conjuntos {[Ac ∩ (A ∪ B)] − [Ac ∩ (A − B)]} = B − A 9. Demuestre que: B ∩ [(B c ∪ A)c ∪ (A ∪ B)c ] = B − AConjunto Potencia
Si A es un conjunto, el conjunto de todos los subconjubtos de A se denomina conjunto potencia: P (A). Esto es: P (A) = {B : B ⊆ A}. Se puede demostrar que si A contiene n elementos, entonces el conjunto potencia de A tendrá 2n elementos. 10. Sean R = {x ∈ N/ x ≤ 20}, A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, C = {2, 4, 6, 9, 11}. Determinar la cardinalidad de:

(a) P (A) (c) P((A ∩ B) ∪ C) (e) P (A ∪ B)

(b) P (B c ) (d) (A − P (C)) ∩ B (f ) A ∩ P ((A ∩ B)c )

11. Establecer cuales de los hechos siguientes son verdaderos y cuales son falsos. Justificar en cada caso: (a) A ∈ P (A) (c) {A} ∈ P (A) 12. Demostrar las siguientes proposiciones: a) A ⊂ B ⇒ P (A) ⊂ P (B) (b) a ⊂ P (A) (d) {A} ⊂ P (A)

b) P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B)

c) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B)Cardinalidad
El número de elementos diferentes que tiene un conjunto es su cardinalidad. Sean A, B y C tres conjuntos arbitrarios. Vamos a denotar por n(A), n(B) y n(C) el número de elementos (cardinalidad) de los conjuntos A, b y C respectivamente. Se satisfacen las siguientes fórmulas:

n(∅) = 0 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), si A ∩ B = ∅ n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) −n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C), si A ∩ B ∩ C = ∅

13. Use la figura para hallar las cardinalidades siguientes:

B 15 8 7 13 A 4 10 C 6

(a) n(A) (c) n(C) (e) n(B ∪ C) (g) n(A ∪ B ∪ C) 14. Use la figura para hallar las cardinalidades siguientes:

(b) n(B) (d) n(U ) (f ) n(A ∩ B ∩ C) (h) n(B ∩ C)

B 16 5 3 14 A 7 15 C 5

(a) n(A) (c) n(C) (e) n((B ∪ C) − A) (g) n(A ∪ B ∪ C)

(b) n(B) (d) n(A...