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MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA LA ADMINISTRACIÓN.

“RESUMEN FINAL”.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
(Binomial, Normal y de Poisson.)

LA DISTRIBUCION BINOMIAL
Si p es la probabilidad de que cualquier evento ocurra en un solo ensayo (denominada probabilidad de éxito) y q=1-p es la probabilidad de que no ocurra en un solo ensayo (denominada probabilidad de fracaso), entonces la probabilidad deque el evento ocurra exactamente X veces en N ensayos (es decir, X éxitos y N-X fracasos) esta dada por:
N!
K!(N!-K)!

1

p(x)= nCx · p q
x n-x

Ejemplo 1:

La distribución (1) también se denomina distribución de Bernoulli, debido a que Bernoulli la descubrió a finales del siglo XVII. En la siguiente tabla se incluyen algunas de las propiedades de la distribución Binomial.TABLA DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Uno de los ejemplos mas importantes de una distribución de probabilidad continua es la distribución normal, curva normal o distribución Gaussiana. Se define por medio de la ecuación:

En tal caso, se dice que z esta normalmente distribuida, con media 0 y varianza 1. La figura siguiente es una grafica de esta curva normal estandarizada.Muestra que las áreas incluidas entre z=-1 y +1, z=-2 y +2, z=-3 y +3 son iguales, respectivamente, a 68.27%, 95.45% y 99.73% del área total, que es 1.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

RELACIÓN ENTRE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL.
Si N es grande y si ni p y q se acercan a cero, la distribución Binomial puede ser muy aproximada a la distribución normal, con una variable estandarizadadada por:

La aproximación mejora al incrementarse N y en el caso limite es exacta, esto se muestra en las tablas de distribución normal y distribución Binomial, donde esta claro que conforme N aumenta, la asimetría y la curtosis de la distribución Binomial se acercan a las de la distribución normal. En la práctica, la aproximación es muy buena si tanto Np como Nq son mayores que 5.DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de probabilidad discreta.

Se denomina distribución de Poisson, debido a que Simeón-Dennis Poisson la descubrió a inicios del siglo XIX. El valor de p(X) puede calcularse por medio de logaritmos.
TABLA DE PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

LA PRUEBA DE CHI CUADRADA

Definición de X².
El estadístico X² (chi cuadrada) proporciona una medida de ladiscrepancia existente entre la frecuencia observada y la frecuencia esperada, que esta dada
por:

Definición de X².
Donde, si la frecuencia total es N,
∑ oj = ∑ ej =N
Una expresión equivalente a la formula es:

LA DISTRIBUCIÓN DE CHI CUADRADA
Se define el estadístico,

Donde X es la letra griega chi y x² se lee “chi cuadrada”.

Si se consideran muestras de tamaño N, obtenidas deuna población normal, con desviación estándar ∂ y si para cada muestra se calcula X², entonces puede resultar una distribución muestral para X². Esta distribución, denominada la distribución de chi cuadrada, está dada por:

Donde v=N-1 es el numero de grados de libertad y Y0 es una constante dependiente de v tal que el área total bajo la curva es 1.

PRUEBA DE CHI CUADRADA PARA LA BONDAD DEAJUSTE
La prueba chi cuadrada puede usarse para determinar que tan bien las distribuciones teóricas (como las distribuciones normal y Binomial) se ajustan a las distribuciones empíricas (es decir, aquellas obtenidas de datos de muestras).

FORMULAS SIMPLES PARA CALCULAR X²
Se pueden tener formulas simples, que incluyan solo las frecuencias observadas, para el calculo de X². La siguienteformula da los resultados para tablas de contingencia de 2x2 y 2x3.
TABLA DE 2x2

TABLA DE 2x3

X²= ∑ o²j – N
ej

Donde se ha utilizado el resultado general, que es válido para todas las tablas de contingencia:

Donde Δ=a1b2-a2b1, N= a1+a2+b1+b2, N1= a1+b1, N2= a2+b2, NA= a1+a2 y NB= b1+b2.

TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
La teoría de muestreo puede...
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