Construcción de R

CONSTRUCCIÓN DE R
1. Motivación
Estamos acostumbrados a pensar en números reales como aproximaciones sucesivas. Por ejemplo, escribimos

para indicar que es un número real que, con una precisión de 5 decimales, es igual a la cadena anterior. Para ser más precisos, esto significa que . Pero esto no nos dice lo que es . Si queremos una aproximación más exacta, podemos calcular uno; a 10decimales, tenemos Continuando, vamos a desarrollar una secuencia de aproximaciones racionales a . Uno de tales secuencias es

Pero esto no es la única secuencia de los números racionales que se aproximan más cerca de (ni mucho menos). Por ejemplo, aquí hay otra (importante):

(Esta secuencia, que representa a las aproximaciones de fracciones continuas a [usted debe leer acerca de las fraccionescontinuas], ofrece una precisión de 1, 3, 5, 6, 9, 9 dígitos decimales, ya que fácilmente se puede comprobar.) Más aún, aquí hay otra secuencia (un tanto arbitraria) de aproximación racional a :

Mientras que aquí empezamos con una serie de números que realmente no tienen nada que ver con la , la secuencia final se establece a aproximado más y más (esta vez por un período adicional de 2decimales en cada paso). El punto es, precisamente lo que hace la secuencia de un segmento de tiempo inicial es irrelevante, todo lo que importa es lo que pasa a la cola de la secuencia.
Vamos a utilizar los conocimientos anteriores para dar realmente una construcción de números reales a partir de los números racionales . La idea es, un número real es una secuencia de aproximaciones racionales. Perotenemos que tener cuidado, ya que, como vimos anteriormente, secuencias muy diferentes de números racionales puede aproximarse igualmente a un mismo número. Para hacerse cargo de esta ambigüedad, tendremos que definir los números reales como un conjunto de secuencias de aproximación de racionales, todas con el mismo comportamiento en la cola. Para hacer esta precisión, la siguiente sección contieneuna definición precisa y algunos teoremas de los cuales tendremos que establece la construcción matemática formal de (tal como lo previeron Bolzano y Cauchy en el siglo 19).
2. Secuencias de Cauchy
Ya hemos estado trabajando con las secuencias, pero para estar seguros de que estamos en la misma página:
Definición 1. Una sucesión de números racionales (también conocida como una secuenciaracinoal) es una función de los números naturales a los números racionales . Es decir, se trata de una asignación de un número racional a cada número natural. Por lo general denotamos esta función por , por lo que los términos en la secuencia se escriben Para referirse a toda la secuencia, escribiremos , o en aras de la brevedad simplemente .
Estamos interesados principalmente en el comportamientode la cola de una secuencia. Existe una amplia variedad de los diferentes comportamientos que una secuencia puede tener como vimos anteriormente. Los siguientes son dos comportamientos importantes, relacionados con las que se necesita ahora, y que también será importante para todos nosotros a largo plazo. El primero tiendo a 0. En pocas palabras una secuencia tiende a 0 si la cola se pone (y semantiene) arbitrariamente pequeña. Esto es: dado cualquier número racional positivo pequeño , eventualmente el valor absoluto de los términos en la secuencia son todos .
Definición 2. Sea una sucesión racional. Decimos que tiende a 0 si, dado cualquier número pequeño , hay un número natural tal que, para todo , . A menudo esto se denota simbólicamente por .
Un ejemplo típico dado es la secuencia(pero existen otros millones de casos similares, por supuesto). Dado cualquier racional pequeño , si queremos que , simplemente elegimos . Aquí usamos directamente el hecho de que es un campo de Arquímedes. Tenga en cuenta, también, que en este caso, puesto que siempre que , tendremos que . Así, hemos demostrado que la secuencia .
También podemos, en este momento, definir lo que significa...