Contaminacion

REÙBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR
PARA LA EDUCACION SUPERIOR
MISION SUCRE:
ALDEA: HERMAGORAS CHAVEZ
CABIMAS-EDO. ZULIA








REALIZADO POR:

CARLOS MONTILLA



CABIMAS, MAYO DE 2012.
MODELO RUNGE - KUTTA
El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto demétodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta. En 1904 fue a Göttingen, donde permaneció hasta su retiro en 1925. El cráter Runge en la Luna le debe su nombre.
Descripción
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias,concretamente, del problema de valor inicial.
Sea

Una ecuación diferencial ordinaria, con donde es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:
,
Donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento entre los sucesivos puntos y . Los coeficientes sontérminos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

con coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; aij=0 para j=i,...,s ,los esquemas son explícitos.
Ejemplo
Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en y otra en . ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:

Para estimar ƒ(t,y) en se usa un esquema Euler

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

De manera que se obtiene la expresión:

Los coeficientes propios de este esquema son:
Variantes
Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, tambiénllamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).
Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.
Métodos de Runge-Kutta
El método de Runge-Kutta noes sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.
Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden
Un miembro de la familia de losmétodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.
Definamos un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Donde

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor(yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. Lapendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde es la pendiente al principio del intervalo, es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando para determinar el valor de y en el punto usando el método de Euler. es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando para determinar el valor de y es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por . Promediandolas cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de , mientras que el error total acumulado tiene el orden .







Metodos Runge-Kutter

Runge trabajó en un procedimiento para la solución numérica de ecuaciones...