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Introducción

El hecho de hablar de la derivada conduce al campo del análisis matemático debido a que éste abarca temas que van desde los números reales y sus propiedades, y pasando por el estudio de las funciones (de una y varias variables), límites y continuidad, derivación, integración, sucesiones y series, teoría de la medida, hasta el álgebra lineal, análisis funcional y análisis complejo,entre otros

Uno de los grupos temáticos de la Matemática Superior que más se aplica a la Economía es, sin duda, la derivada. Es utilizada para determinar el producto marginal, elasticidad e importantes funciones económicas, y para desarrollar los procesos de optimización. Tanto el óptimo microeconómico del consumidor como del productor, representan un problema de optimización modelado mediante unproceso en derivadas parciales.

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Derivadas Parciales

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa concualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

df/dx = dxf = f’x

Donde ∂ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z...), es decir:
A = f (x, y, z…)

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela alplano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

 
Aplicaciones de las Derivadas Parciales en Administración yEconomía.

En esta sección estudiaremos varias aplicaciones de las derivadas parciales en administración y economía, dentro de las cuales incluiremos el costo marginal, análisis marginal, la superficie de demanda, las funciones de producción, el teorema de euler, demanda marginal, elasticidad parcial de la demanda, productividad marginal.

Costo Marginal: El costo marginal por unidad es la razón(instantánea) de cambio del costo total con respecto a la producción, esto es:

Costo Marginal = derivada del costo total

Si la función de costo de producir las cantidades x e y de dos bienes está dado por: c = Q(x,y), entonces las derivadas parciales de c son las funciones de costo marginal, así:



Nota: En la mayor parte de los problemas económicos los costos marginales son positivos.Ejemplo:
En la función de costo de producción dos artículos x e y es C=Q(x,y)=x2y2-3xy+y+8, determinar el costo marginal con respecto a x, y el costo marginal con respecto a y.


Esto quiere decir, si y se mantiene constante 4, al producir una unidad adicional de x, agregara 84 unidades, la producción de una unidad adicional de y, aumentara 64 unidades monetarias al costo total.

Análisis Marginal: Eltérmino “análisis marginal” en economía, hace referencia a la práctica de usar una derivada para estimar el cambio en el valor de una función como resultado de un aumento en una unidad en una de sus variables (similar al caso de las funciones de una variable).

Ejemplo:
Supongamos que la producción diaria Q de una fábrica depende de la cantidad k de capital invertido (medido en unidades de 1000dólares) en la fábrica y equipamiento, y también del tamaño L de la fuerza de trabajo (medida en horas – trabajador).

En economía las derivadas parciales dQ/dk y dQ/dL se conoce como los productos marginales del capital y del trabajo respectivamente. De interpretaciones económicas de esos dos productos marginales.

dQ/dL = el producto marginal del trabajo que es el ritmo al que cambia la producción...