Continuidad de una función derivable

Reglas de derivación
Interpretación geométrica

Continuidad de una función derivable

Relación entre la derivada y la continuidad de una función:

Así como vimos que no todas las funciones son continuas, a al menos no lo son en algún número de puntos, también existen funciones que NO tienen derivada en algunos valores de su dominio.

La propiedad de una función, de ser derivable es másfuerte o tiene más peso que la de ser continua. Esto significa que la derivabilidad de una función en un punto asegura la continuidad en el mismo, pero la recíproca no siempre se cumple, ya que si una función es continua en x0 ello no nos asegura que exista la derivada en x0.

Hay un teorema del análisis que afirma y demuestra:

“Si una función tiene derivada finita en un punto, entonces escontinua en dicho punto”.

Las derivadas de dos funciones ….. básicas:

Según los siguientes teoremas podemos conocer la derivada de las funciones constante e identidad:

Teorema:
Si una función f es constante, entonces f es derivable en todo R, y su derivada vale cero para todo punto.

Esto es obvio, ya que si se trata de una función constante f(x + x) = f(x) por lotanto
f(x + x) – f(x) = 0 entonces

Lim f(x + x) – f(x) = 0
x  0 x

Teorema:
Si la función f es identidad, entonces f es derivable en todo R, y su derivada vale uno paratodo punto.
Si f(x) = x

f´(x) = Lim f(x + x) – f(x)
x  0 x

f´(x) = Lim (x + x) – (x)
x  0 x

f´(x) = Lim x = 1
x  0x

f´(x) = 1

Tabla de derivadas elementales

Como se ha hecho en los ejemplos anteriores, toda función puede derivarse utilizando su definición. Pero, personas dedicadas al estudio de la matemática, nos han simplificado la tarea y determinaron las funciones derivadas de las funciones elementales. Con ellas se puede escribir una tabla como la que se detalla a continuación, perotambién puede utilizar cualquier otra que sea más completa que ésta:

f(x) f ´(x)

k 0

xn n xn –
ln x

log a x .log a e

ex ex

ax ax . ln a

sen x cos x

cos x - sen x

tg x sec2 x

Derivadas Sucesivas

En muchas ocasiones tendremos que analizar funciones derivadas de otras, paralo cual deberemos derivarlas. Es por esta razón que a una función se la puede derivar, y a su resultado también, y a este último nuevamente, y así siguiendo. A este proceso se lo llama encontrar las derivadas sucesivas de la función original.

Un ejemplo de ello sería:
Sea f(x) = 3 x4 + 2x

La derivada primera es: f´(x) = 3.4 x3 + 2 = 12 x3 + 2La derivada segunda es: f´´(x) = 12. 3 x2 + 0 = 36 x2

La derivada tercera es: f´´´(x) = 36 .2 x = 72 x

Y así se podría seguir encontrando las derivadas sucesivas de la función f(x)

Reglas para derivar funciones

Como ya lo dije antes, para encontrar la derivada de una función, siempre es posible hacerlo utilizando su definición, pero ese trámite resulta sumamentecomplicado y extenso cuando la función no es simple. Es por ello que existen algunas reglas, como las que detallare a continuación, que nos permitirán derivar las funciones de una manera más rápida y sencilla.

Derivada de una suma de funciones

La derivada de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las derivadas de cada una de ellas

En símbolos: (f +-...