Funcion Continua

En una función continua se producen variaciones en los valores de la función para los puntos cercanos del dominio. El dominio es el conjunto de partida de una función, o sea aquellos valores para loscuales la función se define. Entonces la palabra continuidad quiere decir que se produce un pequeño cambio en la variable x o un cambio en el valor f (x). Entonces la gráfica consiste solo de unúnico trozo de curva ya que no contiene interrupciones.
Decimos que una función es continua, cuando tiene continuidad en todo punto de su dominio.


Continuidad
f(x)=x2
Intuitivamente, lacontinuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.
f(x)=sgn x
En contraste, unagráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para unvalor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.
Expresemos esto en términos del concepto de límite...
Definición
Continuidad
Unafunción f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).
Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).
Ejemplos de discontinuidad
f(x)= 1/x2Discontinua en x=0 (No existe f(0))

f(x) = x2 si x 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0
Sin embargo, si miramos lafunción para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".
Definición
Continuidad por la izquierda
Una función f(x) es continua por laizquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).
Definición
Continuidad por la derecha
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a)....