Continuidad Limite
Páginas: 18 (4253 palabras)
Publicado: 2 de octubre de 2012
1/65
Funciones Continuas
<
>
i
P
?
2/65
Continuidad
Sea f W A ! R y a 2 A. Se dice que f es continua en a cuando:
9
>
jx a j < ı =
8" 2 RC 9 ı 2 RC W
jf . x /
f .a/j < "
>
;
x 2A
Se dice que f es continua en un conjunto C
<
>
A, si f es continua
en todo punto de C .
i
P
?
3/65
Observación importante
Observa que en esta definición el conjuntoA tiene mucho
protagonismo: sólo se consideran los valores de f en A,
lo que le pueda pasar a f fuera de A no nos interesa.
<
Para poder hablar de la continuidad o de la no continui-
>
dad de una función en un punto, la función debe estar definida en dicho punto.
i
P
?
4/65
Propiedades básicas
Las funciones suma y producto de funciones continuas son
funciones continuas.La función cociente de dos funciones continuas cuyo de-
<
nominador no se anula nunca es una función continua.
>
Las funciones racionales son funciones continuas en su dominio natural de definición.
i
P
?
5/65
Continuidad de una función compuesta
Sean f W A ! R y g W B ! R funciones tales que f .A/
B.
Supongamos que f es continua en un punto a 2 A y que g escontinua en el punto b D f .a/ 2 B . Entonces la función compuesta
<
>
g ı f W A ! R es continua en el punto a. En particular, la composición de funciones continuas es una función continua.
i
P
?
6/65
Propiedades locales
Teorema de localización. Una función f es continua en un intervalo abierto I si, y sólo si, la restricción de f a I es continua en I .
Conservación local delsigno. Sea f W A ! R continua en un punto
<
>
a 2 A con f .a/ ¤ 0. Entonces hay un número r > 0 tal que para
todo x 2 A con jx
aj < r se verifica que f .x / tiene igual signo
que f .a/, es decir f .x /f .a/ > 0.
i
P
?
7/65
Ejercicio
Prueba que si f W A ! R es continua en a entonces también lo es
jf j. Da un ejemplo de función discontinua cuyo valor absoluto es
<
>continua.
i
P
?
8/65
Ejercicio
Representamos por E .x / la parte entera de x . Haz un esquema de
las gráficas de las siguientes funciones y estudia su continuidad.
a) f .x / D x
<
E .x /
>
b) f .x / D E .1=x /
i
P
?
9/65
Ejercicio
Estudia la continuidad de la función f W R ! R dada por:
<
f . x / D E .x /
2
>
i
P
?
10/65
EjercicioEstudia la continuidad de la función f W R ! R, definida por
<
f .x / D xE .1=x / si x ¤ 0, f .0/ D 1.
>
i
P
?
11/65
Ejercicio
Estudia la continuidad de la función f W R ! R dada por
f .x / D x sen.1=x /
<
>
si x ¤ 0 y f .0/ D 0.
i
P
?
Teorema de Bolzano
12/65
Toda función continua en un intervalo que toma valores
positivos y negativos se anula en algúnpunto de dicho intervalo.
<
Teorema del valor intermedio
>
La imagen de un intervalo por una función continua es un
intervalo.
i
P
?
Da un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea un
intervalo.
13/65
Da un ejemplo de una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervalo y que no sea continua.
Da un ejemplo de una función continua en todo R, noconstante
y cuya imagen sea un conjunto (obligatoriamente un intervalo)
acotado.
<
Da un ejemplo de una función continua en Œ0; 1Œ tal que f .Œ0; 1Œ/
>
no sea acotado.
Da un ejemplo de una función continua definida en un intervalo
abierto acotado y cuya imagen sea un intervalo cerrado y acotai
do.
P
?
Estrategia
Se trata de probar que hay un número real c tal que f .c / D g.c / o, dicho
de otra forma, que la ecuación f .x / D g .x / tiene soluciones. La forma de
14/65
proceder para aplicar el teorema de Bolzano es la siguiente.
Se pasan todos los términos de la ecuación a un lado y se define h.x / D
f .x /
g .x /.
Se comprueba que la función h es continua y está definida en un inter<
valo I . Unas veces el intervalo donde h está definida debemos...
Funciones Continuas
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Continuidad
Sea f W A ! R y a 2 A. Se dice que f es continua en a cuando:
9
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jx a j < ı =
8" 2 RC 9 ı 2 RC W
jf . x /
f .a/j < "
>
;
x 2A
Se dice que f es continua en un conjunto C
<
>
A, si f es continua
en todo punto de C .
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Observación importante
Observa que en esta definición el conjuntoA tiene mucho
protagonismo: sólo se consideran los valores de f en A,
lo que le pueda pasar a f fuera de A no nos interesa.
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Para poder hablar de la continuidad o de la no continui-
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dad de una función en un punto, la función debe estar definida en dicho punto.
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Propiedades básicas
Las funciones suma y producto de funciones continuas son
funciones continuas.La función cociente de dos funciones continuas cuyo de-
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nominador no se anula nunca es una función continua.
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Las funciones racionales son funciones continuas en su dominio natural de definición.
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Continuidad de una función compuesta
Sean f W A ! R y g W B ! R funciones tales que f .A/
B.
Supongamos que f es continua en un punto a 2 A y que g escontinua en el punto b D f .a/ 2 B . Entonces la función compuesta
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g ı f W A ! R es continua en el punto a. En particular, la composición de funciones continuas es una función continua.
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Propiedades locales
Teorema de localización. Una función f es continua en un intervalo abierto I si, y sólo si, la restricción de f a I es continua en I .
Conservación local delsigno. Sea f W A ! R continua en un punto
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>
a 2 A con f .a/ ¤ 0. Entonces hay un número r > 0 tal que para
todo x 2 A con jx
aj < r se verifica que f .x / tiene igual signo
que f .a/, es decir f .x /f .a/ > 0.
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Ejercicio
Prueba que si f W A ! R es continua en a entonces también lo es
jf j. Da un ejemplo de función discontinua cuyo valor absoluto es
<
>continua.
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8/65
Ejercicio
Representamos por E .x / la parte entera de x . Haz un esquema de
las gráficas de las siguientes funciones y estudia su continuidad.
a) f .x / D x
<
E .x /
>
b) f .x / D E .1=x /
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9/65
Ejercicio
Estudia la continuidad de la función f W R ! R dada por:
<
f . x / D E .x /
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10/65
EjercicioEstudia la continuidad de la función f W R ! R, definida por
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f .x / D xE .1=x / si x ¤ 0, f .0/ D 1.
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Ejercicio
Estudia la continuidad de la función f W R ! R dada por
f .x / D x sen.1=x /
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>
si x ¤ 0 y f .0/ D 0.
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Teorema de Bolzano
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Toda función continua en un intervalo que toma valores
positivos y negativos se anula en algúnpunto de dicho intervalo.
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Teorema del valor intermedio
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La imagen de un intervalo por una función continua es un
intervalo.
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Da un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea un
intervalo.
13/65
Da un ejemplo de una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervalo y que no sea continua.
Da un ejemplo de una función continua en todo R, noconstante
y cuya imagen sea un conjunto (obligatoriamente un intervalo)
acotado.
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Da un ejemplo de una función continua en Œ0; 1Œ tal que f .Œ0; 1Œ/
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no sea acotado.
Da un ejemplo de una función continua definida en un intervalo
abierto acotado y cuya imagen sea un intervalo cerrado y acotai
do.
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Estrategia
Se trata de probar que hay un número real c tal que f .c / D g.c / o, dicho
de otra forma, que la ecuación f .x / D g .x / tiene soluciones. La forma de
14/65
proceder para aplicar el teorema de Bolzano es la siguiente.
Se pasan todos los términos de la ecuación a un lado y se define h.x / D
f .x /
g .x /.
Se comprueba que la función h es continua y está definida en un inter<
valo I . Unas veces el intervalo donde h está definida debemos...
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