Continuidad (univ. zaragoza)

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ ıtulo 4

Continuidad
4.1.
4.1.1.

L´ ımites de funciones reales de una variable real
Definici´n de l´ o ımite de una funci´n. Unicidad del l´ o ımite. L´ ımite por sucesiones

Definici´n 4.1.1. Dado a ∈ R, llamaremos entorno de a a todo conjunto V ⊆ R para el que o exista alg´n ε > 0 de manera que V contenga al intervalo (a − ε, a+ ε). Si V es un entorno de a, u diremos que el conjunto V \ {a} es un entorno reducido de a. Ejemplos. a) Si b < a < c, los intervalos (b, c), [b, c), (b, c] y [b, c] son entornos de a. Tambi´n e lo son los intervalos (b, +∞), [b, +∞), (−∞, c) y (−∞, c]. b) Todo conjunto que contenga un entorno de un punto es a su vez entorno de ese punto. Definici´n 4.1.2. Sea A ⊆ R, a ∈ R; a es un punto deacumulaci´n de A si todo entorno o o reducido de a contiene puntos de A; equivalentemente, si para cada ε > 0 existe alg´n y ∈ A tal u que y = a, |y − a| < ε, o sea, tal que 0 < |y − a| < ε. El conjunto de puntos de acumulaci´n de un conjunto A suele denominarse conjunto derivado o de A y representarse por A . Informalmente, a ∈ A si y solo si hay puntos de A, distintos de a, arbitrariamente pr´ximosal o punto a. Ejemplos. a) Si A es finito, A = ∅.

b) N = Z = ∅, Q = R. c) (a, b) = [a, b] = [a, b]. d) Si A = {1/n : n ∈ N}, 0 ∈ A (aunque 0 ∈ A) y 1 ∈ A (aunque 1 ∈ A). / / Ejercicio. Probar que a ∈ A si y solo si existe una sucesi´n (xn ) de puntos de A distintos de a o que converge a a. Definici´n 4.1.3 (l´ o ımite de una funci´n en un punto). Sea A ⊆ R, f : A → R, a ∈ A , b ∈ R. o Se escribel´ f (x) = b ım
x→a

cuando se cumple lo siguiente: para cada ε > 0 existe alg´n δ > 0 tal que para todo x ∈ A con u 0 < |x − a| < δ se tiene |f (x) − b| < ε. Se dice entonces que “b es l´ ımite de f (x) cuando x tiende al punto a”. 51

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CAP´ ITULO 4. CONTINUIDAD

La condici´n de que |f (x) − b| < ε para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ se puede escribir de o esta otra forma: f (U ) ⊆(b − ε, b + ε), U = [A ∩ (a − δ, a + δ)] \ {a}. Podemos parafrasear esta definici´n diciendo que f (x) “se acerca” a b cuando x “se acerca” a a o dentro del dominio de f , o que b puede ser aproximado “tanto como se quiera” por valores de f en puntos de su dominio “suficientemente pr´ximos” al punto a, pero distintos de a. o Ejemplo. Si f : R → R est´ dada por a f (x) = 0 si x = 0; 1 si x = 0,entonces l´ f (x) = 0 (sin que importe que f (0) = 1). ım
x→0

Proposici´n 4.1.4 (unicidad del l´ o ımite). Sea A ⊆ R, f : A → R, a ∈ A , b1 , b2 ∈ R. Si l´ f (x) = b1 y l´ f (x) = b2 , ım ım x→a x→a entoncesb1 = b2 . b2 − b1 . Deben existir un 2 b1 + b 2 δ1 > 0 tal que para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ1 es f (x) < b1 + ε = y un δ2 > 0 tal que 2 b1 + b2 para todo x ∈ A con 0 < |x − a| < δ2 es =b2 − ε < f (x). Definiendo δ = m´ 1 , δ2 }, resulta ın{δ 2 b1 + b 2 b1 + b2 que para todo x ∈ A con 0 < |x−a| < δ es < f (x) < . Esto es una contradicci´n. o 2 2 Demostraci´n. Supongamos, por ejemplo, que b1 < b2 . Elijamos ε = o El resultado anterior tambi´n se puede obtener como una consecuencia de la proposici´n sie o guiente y de la unicidad del l´ ımite para sucesiones. Proposici´n 4.1.5 (l´ oımite a trav´s de sucesiones). Sea A ⊆ R, f : A → R, a ∈ A , b ∈ R. Las e siguientes propiedades son equivalentes: a) l´ f (x) = b. ım
x→a

b) para cada sucesi´n (sn ) de puntos de A \ {a} tal que l´ sn = a se verifica l´ f (sn ) = b. o ım ım
n n

Demostraci´n. (a) =⇒ (b) Supongamos que l´ f (x) = b. Para cualquier ε > 0 se puede encontrar o ım
x→a

δ > 0 de modo que para todo x ∈ A con 0< |x − a| < δ se cumple |f (x) − b| < ε. Sea (sn ) una sucesi´n de puntos de A \ {a} tal que l´ sn = a. Dado δ > 0, existir´ un N ∈ N tal que para todo o ım a
n

n > N se verifica |sn − a| < δ, y como sn = a, se deduce que |f (sn ) − b| < ε; en otras palabras, l´ f (sn ) = b. ım
n

(b) =⇒ (a) Vamos a probar que si (a) no se cumple, entonces (b) tampoco. Que no se cumpla (a) significa que...